Kezdőlap


Feladat:	1076. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Kálmán , Katona Éva , Kopornoky Zsolt , Opálény Mihály , Vincze Imre
Füzet:	1961/november, 119 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/december: 1076. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) (1)-ből átrendezéssel, négyzetre emeléssel, majd $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ helyettesítéssel $sin x$ -re másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} 3 cos x = - 1, 4 - 4 sin x, \\ 9 cos^{2} x = 9 - 9 sin^{2} x = 1, 96 + 11, 2 sin x + 16 sin^{2} x, \\ 25 sin^{2} x + 11, 2 sin x - 7, 04 = 0. & (3) \end{matrix}

Eszerint csak olyan szög felelhet meg, amelyre

\begin{matrix} {(sin x)}_{1} = - 4 / 5 = - 0, 8, {(sin x)}_{2} = 44 / 125 = 0, 352. \end{matrix}

(4)

Mindkét értékhez

0^{\circ}

és

360^{\circ}

között két

x

szög tartozik, éspedig a III. és IV., ill. az I. és II. körnegyedben, így mindkettőhöz két, egyenlő abszolút értékű, ellentett előjelű

cos x

érték tartozik. Ezért a két‐két szög közül csak egy‐egy elégítheti ki (1)-et, hogy melyik, azt behelyettesítéssel kellene kiválasztanunk. Ezt elkerülhetjük, ha (4)-ből előbb (1) alapján

cos x

-et számítjuk ki:

\begin{matrix} {(cos x)}_{1} = + 3 / 5 = 0, 6, {(cos x)}_{2} = - 117 / 125 = - 0, 936, \end{matrix}

mert így, két függvénye alapján

x_{1}

és

x_{2}

visszakeresése egyértelmű. Az előjel‐pár szerint

x_{1}

a IV.,

x_{2}

a II. körnegyedben van.

\begin{matrix} x_{1} \approx 306, 87^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, x_{2} \approx 159, 39^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, \end{matrix}

ahol

k

egész szám. A körnegyed kijelölése után a visszakeresés akár

sin x

-ből, akár

cos x

-ből történhet, mert (3)-ból és (1)-ből visszafelé haladva azt kapjuk, hogy az összetartozó

sin x

cos x

értékpárok négyzetösszege 1.
b) A (2) egyenletekből

cos y

és

sin y

kifejezését a

cos^{2} y + sin^{2} y = 1

azonosságba helyettesítve

x

-re egyismeretlenes egyenletet kapunk. Ez olyan típusú lesz, mint (1), mert (2

a

) és (2

b

)-ben az együtthatók abszolút értékének aránya ugyanaz:

13 / 41

, ezért

cos^{2} x

és

sin^{2} x

együtthatói egyenlők, e két tag összege független

x

-től:

\begin{matrix} {(\frac{13 cos x + 45}{41})}^{2} + {(\frac{3 - 13 sin x}{41})}^{2} = 1, \\ 169 (cos^{2} x + sin^{2} x) + 1170 cos x - 78 sin x + 2034 = 1681, \\ 195 cos x - 13 sin x = - 87. & (5) \end{matrix}

Innen az a) részben látott eljárással

\begin{matrix} sin x_{1} & = 12 / 13 \approx 0, 9231, & sin x_{2} & = - 1269 / 1469 \approx - 0, 8639, \\ cos x_{1} & = - 5 / 13 \approx - 0, 3846, & cos x_{2} & = - 740 / 1469 \approx - 0, 5037, \end{matrix}

majd tovább (2

a

) és (2

b

) alapján

\begin{matrix} sin y_{1} & = - 9 / 41 \approx - 0, 2195, & sin y_{2} & = 1608 / 4633 \approx 0, 3471, \\ cos y_{1} & = 40 / 41 \approx 0, 9756, & cos y_{2} & = 4345 / 4633 \approx 0, 9378. \end{matrix}

Ennélfogva az egyenletrendszernek két megoldása van:

{\begin{matrix} x_{1} \approx 112, 64^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, \\ y_{1} \approx 347, 32^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}; \end{matrix} {\begin{matrix} x_{2} \approx 239, 75^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, \\ y_{2} \approx 20, 31^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} . \end{matrix}

Horváth Kálmán (Kaposvár, Táncsics M. g. III. o. t.)

II. megoldás. a) Gondolva a

\begin{matrix} sin α cos x + cos α sin x = sin (x + α) \end{matrix}

azonosságra, keressünk olyan

λ

számot, amellyel (1)-et szorozva van olyan

α

szög, hogy a

3 λ

4 λ

együtthatók egyenlők

sin α

, ill.

cos α

-val. Így egyrészt az

α

, másrészt a jobb oldal alapján az

x + α

szöget meghatározva

x

-et kivonással kapjuk.

λ

akkor megfelelő, ha

\begin{matrix} sin^{2} α + cos^{2} α = {(3 λ)}^{2} + {(4 λ)}^{2} = 25 λ^{2} = 1, \end{matrix}

vagyis

λ = \pm 0, 2

. Vegyük

λ = + 0, 2

-t, evvel

sin α = 0, 6

cos α = 0, 8

, tehát

α = 36, 87^{\circ}

. Másrészt a szorzással adódó

\begin{matrix} 0, 6 cos x + 0, 8 sin x = - 0, 28 \end{matrix}

egyenletből

sin (x + α) = - 0, 28

, így

\begin{matrix} x_{1} + α \approx 196, 26^{\circ}, x_{2} + α \approx 343, 74^{\circ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x_{1} \approx 159, 39^{\circ}, x_{2} \approx 306, 87^{\circ} . \end{matrix}

b) Az

y

-nak az I. megoldás szerinti kiküszöbölésével nyert (5) megoldásában felhasználhatjuk pl. a

\begin{matrix} cos β cos x + sin β sin x = cos (x - β) \end{matrix}

azonosságot is. Szorozzuk (5)-öt olyan

μ

-vel, hogy álljon

195 μ = cos β

- 13 μ = sin β

; vagyis

{(195 μ)}^{2} + {(- 13 μ)}^{2} = 1

alapján pl.

μ = 1 / 13 \sqrt[]{226}

-tal.
Így

cos β > 0

sin β < 0

, tehát

270^{\circ} < β < 360^{\circ}

. Ezt tudva

β

-t abból is kaphatjuk, hogy

ctg β = cos β / sin β = 195

(- 13) = - 15

, tehát

β \approx 356, 19^{\circ}

, másképpen

β \approx - 3, 81^{\circ}

. Most már

\begin{matrix} cos (x - β) = \frac{- 87}{13 \sqrt[]{226}} \approx - 0, 4452 -ből \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} - β \approx 116, 43^{\circ}, & x_{2} - β \approx 243, 57^{\circ}, \\ x_{1} \approx 116, 43^{\circ} + β \approx 112, 64^{\circ}; & x_{2} \approx 239, 76^{\circ} . \end{matrix}

y

-nak innen való meghatározásában hátrányt jelent, hogy

x

-et

cos x

sin x

kiszámítása nélkül állapítottuk meg. Ezeket kikeresve kiszámíthatjuk

cos y

-t és

sin y

-t, és ezekből

y

-t; vagy pedig az (5)-öt előállító módszerrel

x

-et kiküszöbölve

y

-ra képezhetünk (5)-höz hasonló egyismeretlenes egyenletet. Ezt megoldva az adódó

y'

és

y''

megoldásról ismét csak helyettesítéssel állapíthatjuk meg, hogy ezek

x_{1}

és

x_{2}

melyikével összekapcsolva adják a (2) rendszer teljes megoldását.

Vincze Imre (Budapest, XVIII. Hengersor úti g. III. o. t.)

Megjegyzés. A (2) egyenletrendszer együttható‐párjainak abszolút értékben való megegyezése alapján egy további tetszetős elindulás is adódik: képezzük egyenleteink négyzetösszegét

\begin{matrix} 13^{2} - 2 \cdot 13 \cdot 41 (cos x cos y - sin x sin y) + 41^{2} = 45^{2} + 3^{2}, \\ cos (x + y) = cos s = \frac{13^{2} + 41^{2} - 45^{2} - 3^{2}}{2 \cdot 13 \cdot 41} = - \frac{92}{13 \cdot 41} \approx - 0, 1726. \end{matrix}

Ezzel azonban egyenletünk kétismeretlenes maradt. És így akkor sem kerülhető el a gyökök behelyettesítéssel való kipróbálása, ha

x_{1}

x_{2}

-t valahonnét már ismerjük, ugyanis innen

s

-re két érték adódik:

\begin{matrix} s' \approx 99, 94^{\circ} (ez a fenti x_{1} + y_{1}) és s'' \approx 260, 06^{\circ} (ez a fenti x_{2} + y_{2}) . \end{matrix}

Opálény Mihály (Budapest, Piarista g. III. o. t.)

Katona Éva (Budapest, Ybl M. ép. ip. t. III. o. t.)

III. megoldás (csak az (1) egyenletre). Ismeretes, hogy bármely szög mindegyik trigonometrikus függvénye a négy alapművelettel kifejezhető a feleakkora szög tangensével. Pl.

\begin{matrix} sin α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}}, cos α = \frac{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}} . \end{matrix}

Ezek alapján (1)-ből,

tg x / 2 = t

jelöléssel

\begin{matrix} 3 (1 - t^{2}) + 8 t = - 1,4 (1 + t^{2}), \\ - 1, 6 t^{2} + 8 t + 4, 4 = 0, t_{1} = - 0, 5, t_{2} = 5, 5. \end{matrix}

Innen (

0^{\circ}

és

180^{\circ}

között)

x_{1} / 2 = 153, 44^{\circ}

x_{2} / 2 = 79, 70^{\circ}

, és így (

0^{\circ}

és

360^{\circ}

között)

x_{1} \approx 306, 88^{\circ}

x_{2} \approx 159, 40^{\circ}

.
Hasonlóan oldható meg (5) és folytatólag a (2) egyenletrendszer.

Kopornoky Zsolt (Budapest, I. István g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Többen (1)-et és (2)-t 3 és 4, ill. 13 és

\pm 41

helyén tetszés szerinti együtthatókkal is megoldották. A megoldást nem mutatjuk be, mert ezt a később kitűzött 1085. feladat úgyis szükségessé tette. (1)-nek a III. megoldás mintájára való általános megoldása pedig az 1102. feladat tárgya lett.