Kezdőlap


Feladat:	1075. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filetóth István
Füzet:	1961/november, 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/december: 1075. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két kör $k_{1}$ és $k_{2}$ , középpontjaik $O_{1}$ és $O_{2}$ , sugaraik $r_{1} = 63$ és $r_{2} = 73$ méter, és metszéspontjaik $M$ , $N$ .

Mivel

O_{1} O_{2} = r_{1}

, azért

O_{2}

k_{1}

kerületén van. A közös rész

t

területét úgy kaphatjuk, hogy

k_{2}

O_{2} M N

körcikkének területéhez hozzáadjuk

k_{1}

kisebb

O_{2} M

és

O_{2} N

körszeletei területének összegét, vagyis az

O_{1} M N

körcikk és az

O_{1} M O_{2} N

deltoid területeinek különbségét. A területeket ugyanúgy jelölve, mint magukat az idomokat:

\begin{matrix} t = O_{2} M N + O_{1} M N - O_{1} M O_{2} N . \end{matrix}

O_{1} O_{2} M

egyenlő szárú háromszögből az

O_{1}

-nél levő

ω_{1}

szög felezője merőleges a

k_{1}

kör

r_{2}

hosszúságú

O_{2} M

húrjára, így

\begin{matrix} sin \frac{ω_{1}}{2} = \frac{73}{2 \cdot 63} \approx 0, 5794 tehát ω_{1} \approx 70, 80^{\circ}, \end{matrix}

ebből pedig

\begin{matrix} O_{1} O_{2} M ∢ = ω_{2} = 90^{\circ} - \frac{ω_{1}}{2} \approx 54, 60^{\circ} . \end{matrix}

Ívmértékben

ω_{1} \approx 1, 2357

ω_{2} \approx 0, 9529

, és ezekkel

O_{2} M N = r_{2}^{2} ω^{2} \approx 5078 m^{2}

O_{1} M N = r_{1}^{2} ω_{1} \approx 4905 m^{2}

.
Másrészt

O_{1}

távolsága

O_{2} M

-től:

\sqrt[]{63^{2} - 36, 5^{2}} \approx 51, 35 m

, ebből

O_{1} M O_{2} N \approx 3749 m^{2}

, végül

t \approx 6234 m^{2}

.
A két kör területe:

t_{1} \approx 12 470 m^{2}

t_{2} \approx 16 740 m^{2}

, ezeknek a közös rész

50, 0

, ill.

37, 2 %

-át teszi ki.

Filetóth István (Nyíregyháza, Vasvári P. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A

t : t_{1}

arány kerek értéke azt mutatja, hogy az

r_{2} / r_{1} = 73 / 63

arányszám jó megközelítése ,,kicsi'' számokkal az ún. kecskelegeltetési problémának. Ez a következő: ,,Adott egy köralakú legelő, ennek felét legeltethetjük le egy kecskével úgy, hogy a kecske nyakára kötött lánc másik végét egy a legelő szélén leütött karóhoz rögzítjük. Milyen hosszú lehet a lánc?''