Kezdőlap


Feladat:	1074. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Endreffy Zoltán , Kovács Imre , Nagy Csaba
Füzet:	1961/november, 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/december: 1074. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A sorozatot megadhatjuk az összeg‐képlet ismerete nélkül is. Ugyanis $n = 1$ és 2-vel

\begin{matrix} S_{1} & = a_{1} = 4 \cdot 1^{2} = 4 -ből a_{1} = 4, \\ S_{2} & = a_{1} + a_{2} = 4 + a_{2} = 4 \cdot 2^{2} = 16 -ból a_{2} = 12, \end{matrix}

tehát

d = a_{2} - a_{1} = 8

, és a sorozat: 4, 12, 20, 28, 36,

...

.
A követelmény minden

n

-re teljesül, mert így

a_{n} = 4 + 8 (n - 1) = 8 n - 4

, és az összeg

\begin{matrix} S_{n} = \frac{1}{2} (a_{1} + a_{n}) n = \frac{1}{2} (4 + 8 n - 4) n = 4 n^{2} . \end{matrix}

Endreffy Zoltán (Budapest, I. István g. III. o. t.)

II. megoldás.

\begin{matrix} a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 4 n^{2} - 4 {(n - 1)}^{2} = 8 n - 4, \end{matrix}

És ebből

n = 1

és 2-vel

a_{1} = 4

a_{2} = 12

, tehát

d = 8

Kovács Imre (Békés, Szegedi Kis I. g. IV. o. t.)

III. megoldás. Az összegképlet alapján az

\begin{matrix} S_{n} = \frac{1}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d] n = 4 n^{2} \end{matrix}

követelményből (a 0-tól különböző

n

-nel egyszerűsítve) rendezés után adódik:

\begin{matrix} (d - 8) n + (2 a_{1} - d) = 0. \end{matrix}

Ez minden (pozitív egész)

n

-re csak úgy állhat fenn, ha a bal oldal azonosan 0:

\begin{matrix} d - 8 = 0, 2 a_{1} - d = 0, \end{matrix}

tehát

d = 8

, és

a_{1} = d / 2 = 4

Nagy Csaba (Budapest, József A. g. IV. o. t.)