Feladat: 1071. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Homitzky Lajos ,  Szilvási Márta 
Füzet: 1961/november, 114 - 115. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/december: 1071. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gyökképlet alapján

x1,2=4n2±16n4-4n2(4n2-1)2(4n2-1)=n(2n±1)(2n-1)(2n+1),
és így
x1=n2n+1,x2=n2n-1.
Ha n≠0 és egész, e hányadosok nem egyszerűsíthetők, mert n mindkét nevezőhöz relatív prím.1
Véges tizedes törtként csak azok a törtek írhatók fel, amelyeknek tovább nem egyszerűsíthető alakjában a nevezőt törzsszámhatványok szorzataként írva benne csak 2 és 5 hatványai lépnek fel. Itt 2n+1 és 2n-1 páratlanok, ezért x1 és x2 mindegyike csak akkor lenne véges tizedes tört, ha 2n+1 és 2n-1 az 5 valamely (nem negatív egész kitevőjű) hatványa lenne, esetleg mínusz előjellel ellátva. 5 hatványai (pozitív kitevő esetén) 5-nek többszörösei, tehát két ilyen különbsége (bármilyen előjelpár esetén) szintén, márpedig (2n+1)-(2n-1)=2. Az sem lehet, hogy a nevezők egyike +1, vagy -1 legyen, másika pedig 5k, ahol k>0, mert ±5k és ±1 különbsége 4-re vagy 6-ra végződik. Végül a 2n-1=-1 és 2n+1=+1 feltevés a kizárt n=0 esetre vezet. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
 

Szilvási Márta (Budapest, Ságvári E. lg. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Az állítást a gyökök felírása nélkül is bebizonyíthatjuk. Ha x1 és x2 véges tizedes törtek volnának, akkor összegük, 4n2/(4n2-1) is az lenne. Ez a tört sem egyszerűsíthető, mert szomszédos számok relatív prímek. A nevező a kizárt n=0 eset kivételével pozitív, továbbá páratlan és nem lehet 5k-nal egyenlő k>0 mellett, mert így k=1 esetén 5-tel egyenlő, k>1 mellett 25-re végződnék, így pedig 4n2 egyenlő lenne 6-tal, ill. végződése 26 lenne, ami nem osztható 4-gyel. Hasonlóan 4n2-1=1-ből 4n2=2-re jutnánk.
Az sem lehetséges, hogy x1x2=n2/(4n2-1) véges tizedes tört legyen, ez pedig szükséges lenne ahhoz, hogy x1 és x2 mindegyike véges tizedes tört legyen.
 

Homitsky Lajos (Budapest, I. István g. IV. o. t.)
1Ugyanis a B/A tört csak B és A közös osztóival egyszerűsíthető, és ha az A és B (egész) számoknak a d (egész) szám közös osztója, vagyis A=d⋅A' és B=d⋅B' (ahol A', B' egész), akkor d az A-2B=d(A'-2B') számnak is osztója. Már most A=2n±1 és B=n-nel A-2B=±1, eszerint A és B-nek csak +1 és -1 közös osztója.