Feladat: 1070. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benczúr András ,  Bollobás B. ,  Cserháti M. ,  Dömötör Gy. ,  Farkas Z. ,  Frint G. ,  Gálfi l. ,  Gombás Judit ,  Hanyi Zs. ,  Homitzky L. ,  Knuth E. ,  Kovács I. ,  Kunszt Z. ,  Máté A. ,  Máté E. ,  Molnár E. ,  Nagy Cs. ,  Popper G. ,  Pór A. ,  Pribek F. ,  Rácz Cs. ,  Sebestyén Z. ,  Székely J. ,  Sziklai F. ,  Vincze I. ,  Zalán F. Á. ,  Zalán P. 
Füzet: 1961/november, 113 - 114. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/november: 1070. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előkészítésül mind a négy egyenlőtlenséget külön oldjuk meg, 0-ra redukáljuk és 2x függvényeit x függvényeivel kifejezve a bal oldalt tényezőkre bontjuk.

 

I. sin2x-sinx=sinx(2cosx-1)>0
 


akkor és csak akkor teljesül, ha a két tényező egyenlő előjelű. Az első tényező akkor pozitív, ha 0∘<x<180∘, a második akkor, ha cosx>1/2, azaz vagy 0∘≦x<60∘, vagy 300∘<x≦360∘, eszerint mindkét tényező a mindkét feltételt teljesítő 0∘<x<60∘ intervallumban pozitív. Hasonlóan mindkettő negatív a cosx<1/2-nek megfelelő 60∘<x<300∘, és a 180∘<x<360∘ intervallumok közös részében, azaz ha 180∘<x<300∘.
 

II. A cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1=(2cosx+1)(cosx-1) kifejezés második tényezője nem lehet pozitív, így a kifejezés csak akkor lehet pozitív, ha 2cosx+1<0, vagyis cosx<-1/2; azaz 120∘<x<240∘ esetén.
 

III. tg 2x-tg x=tg x(21-tg2x-1)=tg x1-tg2x(1+tg2x)>0
 


nyilván akkor és csak akkor teljesül, ha
z=tgx1-tg2x>0.
Itt a nevező ≠0, mert tg x=±1 esetén x=k⋅45∘, ahol k=1, 3, 5, 7, így 2x=k⋅90∘, tehát tg 2x nincs értelmezve. 0∘<x<45∘ esetén z>0. A számláló előjelváltozása 90∘,180∘ és 270∘ átlépésénél áll be, a nevezőé pedig akkor, ha tg x abszolút értéke átlépi az 1 értéket, vagyis 45∘, 135∘, 225∘ és 315∘-nál. Ezek a helyek különbözők, így z a 45∘ minden többszörösének átlépésekor előjelet vált, ezért 2 átlépésenként visszanyeri korábbi előjelét. Ezért z>0 akkor, ha folytatólag
90∘<x<135∘,180∘<x<225∘,270∘<315∘.

IV. ctg 2x-ctg x=ctg2x-12ctg x-ctg x=-ctg2x+12ctg x>0, ha ctg x<0; vagyis ha 90∘<x<180∘, 270∘<x<360∘.
 
 

A talált intervallumokat az ábra szemlélteti. Erről leolvasható, hogy két vagy három egyenlőtlenség áll, ha
0∘<x<45∘,90∘<x<180∘,180∘<x<240∘,270∘<315∘.
(A 2. és 3. intervallum szomszédos, de nem összefüggő, mert x=180∘-ra csak a II. teljesül.) Egyetlen egyenlőtlenség sem teljesül, ha 60∘≦x<90∘, továbbá ‐ az adott intervallumhoz bal végpontját is hozzátartozónak tekintve ‐ ha x=0∘.
 

Benczúr András (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)