A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a téglalapban , , és a középpont , az első felosztás adta téglalapok szélessége és , ezek részeinek hossza a továbbosztás után és , ill. és úgy, hogy a , , , területű rész‐téglalapoknak rendre egy‐egy csúcsa , , , . Legyen végül középpontjuk rendre , , , , és az első felosztással létrejött , ill. területű téglalapok középpontja , .
‐ Nyilvánvaló, hogy , és , valamint , és egy‐egy a -vel párhuzamos, ettől , ill. távolságban levő egyenes pontjai, ‐ továbbá hogy , és az eredeti téglalap -gyel párhuzamos középvonalán vannak, vagyis -től távolságban, továbbá , , , távolsága a oldaltól rendre , , , ; végül távolsága -től . Ezekkel és . Legyen -nek -től mért távolsága . Feltesszük, hogy a szakasz -en túli meghosszabbítását metszi és nem derékszögben. Legyen és vetülete a -en átmenő, -vel párhuzamos egyenesen , . Ekkor a és hasonló derékszögű háromszögekből , vagyis | | Az egyenlőséget -gyel szorozva és a távolságok együtthatóiban rendre , és összegük: kifejezését felismerve | | (2) |
Meggondolásunkat a , és , valamint a , és középpontú téglalapokra megismételve nyerjük
(Ugyanis e két téglalaphármasban az első két téglalap ugyanúgy hézagtalanul és egyrétűen lefedi a 3-ik téglalapot, amint a és középpontú téglalapok azt, amelynek középpontja .) Most már (2) és (3) összeadásával és a jobb oldalon (4) figyelembevételével a bizonyítandó egyenlőséget kapjuk. (2) ‐ és vele (1) is ‐ akkor is érvényes, ha párhuzamos -vel, vagy merőleges rá. Ugyanis az első esetben , ezért a egyenlőséget ezen közös értékkel szorozva kapjuk (2)-t, a másodikban pedig , és , tehát
Ha metszi az eredeti téglalapot, akkor az állítás megjegyzés nélkül nem lehet érvényes, hiszen lehetséges, hogy átmegy -n, de a további középpontok egyikén sem, így pedig (1) bal oldala pozitív, jobb oldala 0, mert . Ellenben valamennyi -nek előjelet tulajdonítva úgy, hogy egyik oldalán levő középpontokra , a másikon levőkre pedig legyen, (1) érvényes marad. Így ugyanis a -knek koordináta jellegük lesz, és a felhasznált arányra kapott összefüggés érvényes marad, mert a két különbség egyenlő előjelű, hiszen mindig és közé esik. Könnyű belátni végül, hogy előjeles értékekkel (1) a téglalapot metsző és valamelyik oldalával párhuzamos esetén is érvényes.
Horváth Tibor (Szombathely, Nagy Lajos g. IV. o. t.) | Megjegyzés. Számos megoldás koordináta‐geometriai, több más mechanikai meggondolással, egy pedig térmértani segédtétel alapján bizonyította az állítást.
|