Kezdőlap


Feladat:	1063. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Ildikó
Füzet:	1961/október, 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/november: 1063. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldal nem valós, ha $1 + 2 x < 0$ , ezért $x \geq - 1 / 2$ , ill. nincs értelmezve, ha $\sqrt[]{1 + 2 x} = 1$ , ezért $x \neq 0$ . Minden így megengedett esetben a nevező pozitív, így a jobb és a bal oldal különbsége akkor és csak akkor pozitív:

\begin{matrix} \frac{(2 x + 9) (2 + 2 x - 2 \sqrt[]{1 + 2 x}) - 4 x^{2}}{{(1 - \sqrt[]{1 + 2 x})}^{2}} > 0, \end{matrix}

ha a számláló pozitív. Ebből rendezéssel és egyszerűsítéssel

\begin{matrix} 11 x + 9 > (2 x + 9) \sqrt[]{1 + 2 x} . \end{matrix}

A négyzetgyök pozitív volta és a fenti korlátozás folytán mindkét oldal pozitív, ezért négyzetreemeléssel az egyenlőtlenség iránya az eddigi marad. Kifejtéssel, rendezéssel

\begin{matrix} 121 x^{2} + 198 x + 81 > (4 x^{2} + 36 x + 81) (1 + 2 x) = 8 x^{3} + 76 x^{2} + 198 x + 81, \\ 0 > x^{2} (8 x - 45), \end{matrix}

amiből nyilván

x < 45 / 8

. Átalakításaink megfordíthatók, ezért a megoldás:

\begin{matrix} - \frac{1}{2} \leq x < \frac{45}{8}, x \neq 0. \end{matrix}

Kiss Ildikó (Budapest, Teleki Blanka lg. III. o. t.)