Feladat: 1061. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kovács Imre 
Füzet: 1961/október, 62 - 64. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/október: 1061. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az eredeti értelmezés képlet-párja egyenletrendszernek tekinthető xk, yk-nak xk+1 és yk+1-ből való meghatározására. k=1,2,3,... esetére

3xk+2yk=xk+1(1)4xk+3yk=yk+1}-ből
{xk=3xk+1-2yk+1(2)yk=-4xk+1+3yk+1.
Miután ezt az új képlet-párt tekintjük a sorozat értelmezésének k=0,-1,-2,...-re, azért (2) minden egész k-ra érvényes.
Számítsuk ki (2) alapján x1=2 és y1=3-ból a 0 és -1 indexű tagokat: x0=3x1-2y1=0, y0=-4x1+3y1=1, ezekből pedig x-1=3x0-2y0=-2=-x1, és y-1=-4x0+3y0=3=y1. Eszerint az állítás k=1-re igaz.
Írjunk (2)-ben k+1 helyett -j-t, ekkor k helyére -j-1=-(j+1) lép és nyerjük
x-(j+1)=3x-j-2y-j,y-(j+1)=-4x-j+3y-j.(3)
Ha már most -j olyan (negatív) index, amelyre az állítás igaz, vagyis x-j=-xj és y-j=yj, akkor ezekkel (3) és (1) alapján a -(j+1) index is ilyen, mert
x-(j+1)=-3xj-2yj=-(3xj+2yj)=-xj+1.y-(j+1)=4xj+3yj=yj+1,


vagyis az állítás érvényessége öröklődik -(j+1)-re tehát minden egész indexre érvényes.
 

II. (2)-ből, 3=y-1 és 2=-x-1 figyelembevételével és k helyére k-1-et írva bármely egész k mellett
xk-1=x-1yk+y-1xk,yk-1=y-1yk+2x-1xk,(4)
eszerint a vizsgálandó
xk+r=xryk+yrxk,yk+r=yryk+2xrxk(5)
összefüggés r=-1-gyel helyes. Ugyancsak helyes r=0-val is, tekintettel arra, hogy x0=0, y0=1. ‐ Megmutatjuk r szerinti teljes indukcióval, hogy (5) minden egész r-re érvényes. Feltesszük evégett, hogy valamely r=s értékre (5) helyes, vagyis
xk+s=xsyk+ysxk,yk+s=ysyk+2xsxk,(6)
és megmutatjuk, hogy helyes r helyén s-1-gyel is. Valóban, (4)-et k helyén k+s-sel alkalmazva, majd (6)-ra tekintettel, végül átrendezés után ismét (4) alapján, ezúttal k-helyén s-sel, xk+s-1 és yk+s-1 egymás után így alakul:
xk+(s-1)=x(k+s)-1=x-1yk+s+y-1xk+s=x-1(ysyk+2xsxk)+y-1(xsyk+ysxk)==(x-1ys+y-1xs)yk+(y-1ys+2x-1xs)xk=xs-1yk+ys-1xk,yk+(s-1)=y(k+s)-1=y-1yk+s+2x-1xk+s=y-1(ysyk+2xsxk)+2x-1(xsyk+ysxk)==(y-1ys+2x-1xs)yk+2(x-1ys+y-1xs)xk==ys-1yk+2xs-1xk.



Ezek szerint (5) bármely egész k-val és bármely egész r-rel érvényes.
 

Kovács Imre (Békés, Szegedi Kis I. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. A II. részbeli bizonyítás helyett elég lett volna arra rámutatni, hogy a (2) képletpár egyenértékű (1)-gyel; ennélfogva ‐ bár a sorozatpár visszafelé való folytatását (2)-vel értelmeztük, ‐ a folytatásokban (1) is érvényes. (Pl. x-3=-70 és y-3=99-ből (1) alapján x-2=-210+198=-12 és y-2=-280+297=17.) Eszerint (1) is minden egész indexre érvényes; és ez áll minden belőle levezetett összefüggésre, ‐ így (5)-re is.