A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Az eredeti értelmezés képlet-párja egyenletrendszernek tekinthető , -nak és -ből való meghatározására. esetére | | | | Miután ezt az új képlet-párt tekintjük a sorozat értelmezésének -re, azért (2) minden egész -ra érvényes. Számítsuk ki (2) alapján és -ból a 0 és indexű tagokat: , , ezekből pedig , és . Eszerint az állítás -re igaz. Írjunk (2)-ben helyett -t, ekkor helyére lép és nyerjük | | (3) | Ha már most olyan (negatív) index, amelyre az állítás igaz, vagyis és , akkor ezekkel (3) és (1) alapján a index is ilyen, mert
vagyis az állítás érvényessége öröklődik -re tehát minden egész indexre érvényes. II. (2)-ből, és figyelembevételével és helyére -et írva bármely egész mellett | | (4) | eszerint a vizsgálandó | | (5) | összefüggés -gyel helyes. Ugyancsak helyes -val is, tekintettel arra, hogy , . ‐ Megmutatjuk szerinti teljes indukcióval, hogy (5) minden egész -re érvényes. Feltesszük evégett, hogy valamely értékre (5) helyes, vagyis | | (6) | és megmutatjuk, hogy helyes helyén -gyel is. Valóban, (4)-et helyén -sel alkalmazva, majd (6)-ra tekintettel, végül átrendezés után ismét (4) alapján, ezúttal -helyén -sel, és egymás után így alakul:
Ezek szerint (5) bármely egész -val és bármely egész -rel érvényes.
Kovács Imre (Békés, Szegedi Kis I. g. IV. o. t.) | Megjegyzés. A II. részbeli bizonyítás helyett elég lett volna arra rámutatni, hogy a (2) képletpár egyenértékű (1)-gyel; ennélfogva ‐ bár a sorozatpár visszafelé való folytatását (2)-vel értelmeztük, ‐ a folytatásokban (1) is érvényes. (Pl. és -ből (1) alapján és .) Eszerint (1) is minden egész indexre érvényes; és ez áll minden belőle levezetett összefüggésre, ‐ így (5)-re is.
|