A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. (1) és (2) az és új ismeretlenekre nézve elsőfokú egyenletrendszer: Innen , . ‐ Ezekből kiszámíthatjuk értékét: , tehát . ‐ Most már és értékét a egyenlet gyökei adják: | | ahol a két négyzetgyök előtt előjel-pár egymástól független. Az előjelek minden párosításával 4 megoldást kapunk: 3 =++, =+-, =-+, =-- és így alapján ‐ itt már azonban -nek az -ben használt előjelével ! ‐ | |
Négy értékes jegyre a négyzetgyöktáblázat alapján és , ezért legfeljebb hibával 3 =2,274, =-0,176 =0,176, =-2,274.
Kiss Sándor (Szombathely, Nagy Lajos g. IV. o. t.) | II. megoldás. Az I. megoldás alapján kereshetjük mindjárt azt a , számpárt, amellyel (1) -szorosának és (2) -szörösének összege egyenlő -nel, más szóval: amellyel az összegben együtthatója 1, és együtthatója 2, vagyis Innen , . Ekkor , tehát ismét . ‐ Hasonlóan kapunk egyenletet -ra, és ebből -ra, azzal a , számpárral, melyre Innen , , ekkor , tehát . Most már és -ra a előjelváltozatnak megfelelően írhatunk fel 4 elsőfokú egyenletrendszert, pl. , -ből a fenti , megoldás adódik.
Kucza János (Jászberény, Lehel Vezér g. III. o. t.) | III. megoldás. Grafikus megoldás céljára megvizsgáljuk, hogy milyen görbe lesz az (1) és (2) képe. Mindkét egyenletben és -t felcserélve ismét az eredeti egyenlethez jutunk. Eszerint ha egy pont rajta van a görbén, akkor is rajta van, vagyis a görbe a koordinátatengelyek I. és III. negyedbeli szögfelezőjére tengelyesen tükrös. Hasonlóan a tengelyek II. és IV. negyedbeli szögfelezője is tükrös tengelye mindkét görbének, mert helyett -t és helyett -et írva is önmagába megy át mindkét egyenlet, tehát -vel együtt -re való tükörképe is a görbén van. Tekintsük ezért a görbéket abban a koordinátarendszerben, melynek tengelyei és . Az új koordinátákat , -vel jelölve , helyére | | (3) | lép (lásd a gimn. III. o. tankönyv ,,Hiperbola más helyzetben'' c. pontját, de és , valamint és cseréjével), és az új egyenletek
Eszerint mindkét görbe ellipszis a következő féltengelyekkel: | | Látjuk,hogy és , tehát a második ellipszis nagytengelyének végpontjai az első ellipszisen kívül vannak, kistengelyének végpontjai viszont annak belsejében, ezért a két ellipszis 4 pontban metszi egymást. Ezeket tudva már az eredeti rendszerben is ábrázolhatjuk (1) és (2)-t az | | kifejezések alapján is, ‐ ugyanis az (), () alapján való ábrázolás után a leolvasott , megoldásokból , -t ismét számítanunk kellene (3) alapján.
A metszéspontok 1 tizedes pontossággal | |
Bodó Zoltán (Eger, Dobó I. g. III. o. t.) | Megjegyzések. 1. Az (1) és (2)-t ábrázoló görbék metszéspontjait úgy is megkaphatjuk, mint az egyenletrendszer átalakításával kapott újabb egyenleteket ábrázoló görbék metszéspontjait. Az ellipsziseknél sokkal könnyebben megrajzolható az I. megoldásbeli kör és az egyenespár (felhasználva Pythagorász tételét és hogy | | továbbá a II. megoldásbeli egyenespár . A 4 metszéspontot vagy a kör és az egyik egyenespár adhatja, vagy pedig a két egyenespár.
Nagy Péter (Szombathely, Nagy Lajos g. IV. o. t.) |
2. A számító megoldást előkészíthetjük az hányados kiszámításával is, ha (1) és (2)-ből előbb az állandó tagokat küszöböljük ki. (1) és (2)-t -cel, ill. -cal szorozva és összeadva , és innen . Most már pl. helyettesítéssel (1)-ből , és átalakításokkal . ‐ Ennek grafikus megfelelője az, hogy egyik görbe gyanánt az , egyenespárt vesszük. (E két egyenes metszése, az origó, természetesen nem megoldása az (1), (2) rendszernek hiszen ez az egyenespár csak a rendszer egyik másodfokú egyenletét helyettesíti.)
Kóta József (Tatabánya, Árpád g. III. o. t.) |
|