Kezdőlap


Feladat:	1059. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Péterfai Béla , Szirai József
Füzet:	1961/október, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Négyszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/október: 1059. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Képzeljük a feladatot megoldottnak, rajzoljuk meg a négyszög körülírt körét, a $B D$ átlót, és legyen az átlók metszéspontja $M$ (1. ábra).

1. ábra

A kerületi szögek tétele szerint

B D C ∢ = α_{1}

, és

D B A ∢ = γ_{1}

így az

A B M

és

C D M

háromszögekben ismert egy-egy oldal és a rajta fekvő szög. Szögeik egyenlősége alapján e két háromszög hasonló, körüljárásuk ellentétes. Ezek alapján a szerkesztés pl. a következő lehet. Az

A B

szakasz

A

végpontjába felmérjük

α_{1}

-et,

B

-be

γ_{1}

-et, a másik szárak metszéspontja

M

A

-ból

B

felé felmérjük

D C

-t, az

E

végponton átmenő,

A M

-mel párhuzamos egyenessel

F

-ben metsszük

B M

-et, és az

F

-en átmenő,

A B

-vel párhuzamos egyenessel

G

-ben metsszük

A M

-et.

A M

és

B M

-nek

M

-en túli meghosszabbításaira

M F

-et, ill.

M G

-t felmérve kapjuk

C

-t,

D

-t.
A párhuzamos szerkesztések alapján

M G F

azonos körüljárással hasonló az

M A B

háromszöghöz, továbbá

D C = A E = G F

alapján ellentétes körüljárással egybevágó az

M D C

háromszöggel. A szerkesztés végrehajtható, ha

α_{1} + γ_{1} <

< 180^{\circ}

Szirai József (Nagykőrös, Arany J. g. II. o. t.)

II.megoldás. A szemben levő

A B

és

C D

oldalakat egymás mellé hozhatjuk úgy, hogy az

A C D

háromszöget tükrözzük

k

-nak az

A C

átlóra merőleges átmérőjére (1. ábra). Ekkor

D

-nek

D_{1}

tükörképe a

k

-n van,

D_{1} A = D C

és

D_{1} A C ∢ = D C A ∢ = γ_{1}

, tehát

D_{1} A B ∢ = α_{1} + γ_{1}

és a

D_{1} A B

háromszögben ismerünk két oldalt és a köztük levő szöget.
A szerkesztés:

A B

-re

A

-ban felmérjük

α_{1}

-et, ennek második szárától az

A B

-vel ellentétes oldalra

γ_{1}

-et, és

γ_{1}

szárára

A

-tól

C D

-t, a végpont

D_{1}

. Megszerkesztjük az

A B D_{1}

háromszög

k

körülírt körét, ez

α_{1}

második szárát

C

-ben metszi. Végül

D_{1}

-et ,,visszatükrözzük'' az

A C

felező merőlegesére, pl. úgy, hogy a

C

körüli,

C D

sugarú körrel

k

-ból ‐ pontosabban:

k

-nak

B

-t nem tartalmazó

A C

ívéből ‐ kimetsszük

D

-t. Így az utóbbi lépés is egyértelmű. ‐ Az

A B D_{1}

háromszög szerkeszthető, ha

α_{1} + γ_{1} < 180^{\circ}

Péterfai Béla (Győr, Bercsényi M. 12 évf. isk. III. g. o. t.)

III. megoldás. Adatainkból eltolással is kaphatunk közvetlenül megszerkeszthető segédháromszöget. Feltehetjük, hogy

α_{1} \geq γ_{1}

, mert ezt a nagyságviszonyt alkalmas átbetűzéssel mindig elérhetjük. Ekkor

C

legalább akkora távolságban van

A B

-től, mint

D

. Toljuk el

A B

-t

A

végpontjánál fogva

D

-be, és legyen

B

új helyzete

B_{1}

D B_{1}

és

A C

metszéspontja

N

(2. ábra).

2. ábra

Ekkor

B_{1} D C ∢ = B_{1} N C ∢ - N C D ∢ = α_{1} - γ_{1}

, tehát a

D B_{1} C

háromszög, továbbá a

C A

D B

átlók

e

f

félegyenese megszerkeszthető ‐ ugyanis

C D B ∢ = α_{1}

. Csak az van még hátra, hogy az

A B

szakaszt

e

és

f

közé

D B_{1}

-gyel párhuzamosan beillesszük. Evégett

D N

-nek

N

-en túli meghosszabbítására felmérjük az

N B_{2} = A B

szakaszt, majd a

B_{2}

-n át

e

-vel párhuzamos

e_{1}

egyenessel

f

-ből kimetsszük

B

-t, végül a

B_{2} D

-vel párhuzamos

B A

egyenessel

e

-ből kimetsszük

A

-t.

γ_{1} = α_{1}

esetén

C

D B_{1}

egyenesen van és

N \equiv C