A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Képzeljük a feladatot megoldottnak, rajzoljuk meg a négyszög körülírt körét, a átlót, és legyen az átlók metszéspontja (1. ábra). 1. ábra A kerületi szögek tétele szerint , és így az és háromszögekben ismert egy-egy oldal és a rajta fekvő szög. Szögeik egyenlősége alapján e két háromszög hasonló, körüljárásuk ellentétes. Ezek alapján a szerkesztés pl. a következő lehet. Az szakasz végpontjába felmérjük -et, -be -et, a másik szárak metszéspontja . -ból felé felmérjük -t, az végponton átmenő, -mel párhuzamos egyenessel -ben metsszük -et, és az -en átmenő, -vel párhuzamos egyenessel -ben metsszük -et. és -nek -en túli meghosszabbításaira -et, ill. -t felmérve kapjuk -t, -t. A párhuzamos szerkesztések alapján azonos körüljárással hasonló az háromszöghöz, továbbá alapján ellentétes körüljárással egybevágó az háromszöggel. A szerkesztés végrehajtható, ha .
Szirai József (Nagykőrös, Arany J. g. II. o. t.) | II.megoldás. A szemben levő és oldalakat egymás mellé hozhatjuk úgy, hogy az háromszöget tükrözzük -nak az átlóra merőleges átmérőjére (1. ábra). Ekkor -nek tükörképe a -n van, és , tehát és a háromszögben ismerünk két oldalt és a köztük levő szöget. A szerkesztés: -re -ban felmérjük -et, ennek második szárától az -vel ellentétes oldalra -et, és szárára -tól -t, a végpont . Megszerkesztjük az háromszög körülírt körét, ez második szárát -ben metszi. Végül -et ,,visszatükrözzük'' az felező merőlegesére, pl. úgy, hogy a körüli, sugarú körrel -ból ‐ pontosabban: -nak -t nem tartalmazó ívéből ‐ kimetsszük -t. Így az utóbbi lépés is egyértelmű. ‐ Az háromszög szerkeszthető, ha .
Péterfai Béla (Győr, Bercsényi M. 12 évf. isk. III. g. o. t.) | III. megoldás. Adatainkból eltolással is kaphatunk közvetlenül megszerkeszthető segédháromszöget. Feltehetjük, hogy , mert ezt a nagyságviszonyt alkalmas átbetűzéssel mindig elérhetjük. Ekkor legalább akkora távolságban van -től, mint . Toljuk el -t végpontjánál fogva -be, és legyen új helyzete , és metszéspontja (2. ábra). 2. ábra Ekkor , tehát a háromszög, továbbá a , átlók , félegyenese megszerkeszthető ‐ ugyanis . Csak az van még hátra, hogy az szakaszt és közé -gyel párhuzamosan beillesszük. Evégett -nek -en túli meghosszabbítására felmérjük az szakaszt, majd a -n át -vel párhuzamos egyenessel -ből kimetsszük -t, végül a -vel párhuzamos egyenessel -ből kimetsszük -t. esetén a egyenesen van és .
|