|
Feladat: |
1057. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Benczúr A. , Bollobás B. , Cserháti M. , Fritz J. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi l. , Grüner Gy. , Juhász István , Kiss Ildikó , Lehel J. , Nagy Csaba , Nováky B. , Opálény M. , Páska Cs. , Paulik L. , Sári P. , Sebestyén Z. , Székely J. , Szoboszlai L. , Tardos Csilla |
Füzet: |
1961/október,
56 - 57. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kocka, Mértani helyek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/október: 1057. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Legyen az szakasz felezőpontjának az , ill. a vele párhuzamos lapon levő vetülete , ill. .
A és derékszögű háromszögek egybevágók, mert -nél levő szögeik csúcsszögek, és átfogóik egyenlők, ezért , vagyis mindig egyenlő távolságra van és -től. Ugyanezt jelenti a egyenlőség arra az esetre, ha az átló és a átló felezőpontjában van, mert ekkor , merőleges -re (ekkor az említett háromszögek elfajulnak). Ezek szerint a keresett mértani hely a kockának az élre merőleges szimmetriasíkjában van. Ha -et rögzítjük és végigfut -n, akkor leírja az háromszög -vel párhuzamos középvonalát, melynek hossza . E szakasz szimmetrikus az síkra és a kocka középpontjától való távolsága . Ha végighalad -n, ez a szakasz a saját irányára merőlegesen tolódik el, mert merőleges -re; az eltolódás hossza, míg -tól -ig, majd -ig halad, . Tehát a szakasz által leírt idom az négyzet, ahol és az , és pedig az helyzethez tartozó végpontjai a szakasznak, az , , , lapbeli átlók felezőpontjai, a kocka oldallapjainak középpontjai. Eszerint csak a négyzet belsejében vagy kerületén lehet. Fordítva, ha a -nak egy tetszés szerinti pontja, akkor található -n olyan és -n olyan , hogy felezőpontja éppen , éspedig -et a sík, -t a sík metszi ki. Valóban, , , mindegyike benne van mindkét síkban, tehát egy egyenesben, a két sík metszésvonalán vannak, és felezi az szakaszt, mert , , rendre az , , sík pontja. Ezek szerint az szakaszok felezőpontjának mértani helye a négyzet területének minden (belső és kerületi) pontja. Eredményünket szemléletesen így is kimondhatjuk: az szakasz mindig az (szabályos) tetraéder belsejében, vagy valamelyik lapján, vagy élén van, a keresett mértani hely pedig -nek az síkkal való metszete. b) Hasonlóan adhatjuk meg a pontok mértani helyét. Ha vetülete és -re , , akkora és derékszögű háromszögek hasonlók; átfogóik aránya , ezért -re az és -től mért távolságok aránya mindig , a mértani hely abban az -lel párhuzamos síkban van, amely az oldalélt arányban osztja. Kézenfekvő az a sejtés, hogy mértani helye a -nek -gal való metszete. Ennek a fentiekhez hasonló bizonyítását mellőzve csak az eredményt mondjuk ki. Az , , , átlókat arányban osztó pontokat , , , -vel jelölve mértani helye az téglalap minden belső és kerületi pontja. A téglalap oldalai: és .
Juhász István (Budapest, Madách I. g. IV. o. t.) | Megjegyzések. 1. mértani helyét a következő könnyen bizonyítható segédtétel alapján is megkaphatjuk: Ha egy szakaszt és felezőpontját (párhuzamos vetítéssel) valamely síkra vetítünk, akkor -nek vetülete felezi a szakasz vetületét. ‐ Összes szakaszainkat a fenti -re vetítve csak azt kell belátnunk, hogy ha az és a átló valamely pontja, akkor amely itt azonos -vel ‐, az négyzet belsejében vagy a kerületén van. 2. A segédtétel alapján az I. megoldástól függetlenül úgy is kereshetjük a mértani helyet, hogy szakaszainkat egyrészt -re, másrészt a kocka valamelyik oldallapjára vetítjük. Az utóbbi esetben a vetület az oldallap -lel párhuzamos oldalfelezője. 3. A legtöbb versenyző csak azt mutatta meg, hogy nem fekhet kívül -n, de nem bizonyította be, hogy minden pontja valamely szakasznak felezőpontja.
|
|