Feladat:	1054. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bónis Katalin ,  Kéry Gerzson ,  Kunszt Zoltán ,  Lázár Zsolt ,  Molnár Emil ,  Nagy Irén ,  Nagypál Botond
Füzet:	1961/szeptember, 17 - 19. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Négyszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/szeptember: 1054. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. megoldás: $AB$ és $CD$ párhuzamossága folytán az $ABCD$ négyszög trapéz. Legyen a $C$, $D$ csúcs vetülete $AB$-n $C\text{'}$, $D\text{'}$, így az $ACC\text{'}$, $BDD\text{'}$, $ADD\text{'}$ és $BCC\text{'}$ derékszögű háromszögekből Pythagorász tételével ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle A{C}^2=AC{\text{'}}^2+CC{\text{'}}^2\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle A{D}^2=AD{\text{'}}^2+DD{\text{'}}^2\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle B{D}^2=BD{\text{'}}^2+DD{\text{'}}^2\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle B{C}^2=BC{\text{'}}^2+CC{\text{'}}^2\mathrm{.}}\end{array}}$ Ezekből (1) négyzetes tagjaira ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A{C}^2+B{D}^2-A{D}^2-B{C}^2=}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle =\left(AC{\text{'}}^2-AD{\text{'}}^2\right)+\left(BD{\text{'}}^2-BC{\text{'}}^2\right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ és azt kell megmutatnunk, hogy itt a jobb oldal egyenlő $2AB\cdot CD$-vel. Feltehetjük, hogy az $A$-nál levő szög nem nagyobb derékszögnél, így a konvexség miatt az $AB$ egyenesen $A$, $D\text{'}$, $C\text{'}$ egymás után következő pontok: $AD\text{'}<$ $<AC\text{'}$. Ezért (2) jobb oldalának első különbsége ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle AC{\text{'}}^2-AD{\text{'}}^2=\left(AC\text{'}-AD\text{'}\right)\left(AC\text{'}+AD\text{'}\right)=D\text{'}C\text{'}\left(AC\text{'}+AD\text{'}\right)=}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle =CD\left(AC\text{'}+AD\text{'}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A második különbség $B$, $D\text{'}$ és $C\text{'}$ kölcsönös helyzete szerint háromféleképpen alakulhat: