Kezdőlap


Feladat:	1053. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga Szabolcs
Füzet:	1961/szeptember, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/szeptember: 1053. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Ismeretes, hogy egy adott $S$ síkban fekvő és a sík két adott $A$ , $B$ pontjától egyenlő távolságra levő egyenesek összessége ‐ mértani helye ‐ két részből tevődik össze: I. $α$ ) egyrészt az $A B$ szakasz $C_{1}$ felező pontján átmenő, I. $β$ ) másrészt az $A B$ -vel párhuzamos egyenesek összességéből.¹ Esetünkben a $C$ harmadik csúcs is szerepel, ezért a keresett egyenesnek bele kell tartoznia az $A$ és $C$ , valamint a $B$ és $C$ pontpártól egyenlő távolságra levő egyenesek összességébe is, vagyis a fenti feltételek egyikén felül teljesítenie kell a következő feltételpárok egy‐egy feltételét is:

\begin{matrix} II. & α) átmegy A C -nek B_{1} felezőpontján, \\ β) vagy párhuzamos A C -vel, \\ III. & α) átmegy B C -nek A_{1} felezőpontján, \\ β) vagy párhuzamos B C -vel . \end{matrix}

A B C

háromszög oldalai különböző irányúak, ezért a

β

) feltétel legfeljebb egy pontpárra teljesülhet; hasonlóan az

α

) feltétel legfeljebb 2 pontpárra, mert az

A_{1}

B_{1}

C_{1}

pontok nincsenek egy egyenesen. Mivel pedig az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög

c_{1}

a_{1}

b_{1}

oldalai az

A B C

háromszögben középvonalak és rendre párhuzamosak

A B

B C

C A

-val, azért e középvonalak, és csak ezek, megfelelnek a követelménynek.
b) Tegyük fel, hogy van az

S

-sel párhuzamos és

A

B

C

-től egyenlő távolságra levő egyenes, és legyen egy ilyen

e

, vagyis ha

A

B

C

vetülete

e

-re

A'

B'

C'

, akkor

A A' = B B' = C C' = d

. Legyen továbbá

A'

B'

C'

vetülete

S

-re

A''

B''

C''

, ezek

e

-nek

S

-re való

e''

vetületén vannak és

A' A'' = B' B'' = C' C'' = t

. Ekkor az

A A' A''

B B' B''

és

C C' C''

derékszögű háromszögek egybevágók, mert 2‐2 oldaluk egyenlő:

d

, ill.

t

, a

d

-vel szemben mindháromban derékszög fekszik, és ezért

d

nagyobb

t

-nél. Így

A A'' = B B'' = C C'' = d'

.
Az említett háromszögek síkjai merőlegesek

e

-re és így

e''

-re is, mert pl.

A A' ⊥ e

, és

A' A'' ⊥ e'' ∥ e

. Ezért

A A''

B B''

C C''

merőlegesek

e''

-re, és az egyenlő

A A''

B B''

C C''

szakaszok az

A B C

háromszög csúcsainak

e''

-től való távolságát adják. Azt nyertük tehát, hogy

e''

azonos az

S

‐sík a) alatt meghatározott egyenesei egyikével, tehát

e

S

-re

a_{1}

b_{1}

c_{1}

-ben emelt merőleges síkok valamelyikének egy az

S

-sel párhuzamos egyenese.
c) Feltéve, hogy van olyan az

i

-vel párhuzamos

e

egyenes, amelyre az előbbi jelölésekkel

A A' = B B' = C C' = d

, vetítsük a rendszert egy az

i

-re merőleges

S^{*}

síkra és legyen

A

B

C

vetülete

A_{0}

B_{0}

C_{0}

, továbbá

e

A'

B'

C'

egybeeső vetülete az

E

pont. Ekkor

A A'

B B'

C C'

párhuzamosak

S^{*}

-gal, és ezért vetületükre

A_{0} E = B_{0} E = C_{0} E = d

, vagyis

E

S^{*}

-nak az

A_{0}

B_{0}

C_{0}

-tól egyenlő távolságra levő pontja, az

A_{0} B_{0} C_{0}

háromszög köré írt kör középpontja;

e

pedig az

E

-n átmenő,

i

-vel párhuzamos egyenes.

A_{0}

B_{0}

C_{0}

egymástól különböző, nem egy egyenesbe eső pontok, mert

A

B

C

, vetülete csak az

S

-re merőleges síkon eshet páronként egybe, vagy egy egyenesbe, ilyen

S^{*}

viszont csak az

S

-ben fekvő

i

-hez tartozhat. Nyilvánvaló végül, hogy bármely az

i

-re merőleges

S^{*}

-ot véve ugyanazon

e

-hez jutunk, tehát ebben az esetben egy és csak egy megfelelő egyenes van.

Varga Szabolcs (Miskolc, Bláthy O. vill. ip. t. IV. o. t.)

¹Lásd Vigassy Lajos: Egyenesek mértani helye. K. M. L. 20 (1960) 82‐91. o., közelebbről 83. o.