|
Feladat: |
1051. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bácsy Zs. , Benczúr András , Bodó Z. , Bollobás Béla , Dömötör Gy. , Fritz J. , Gálfi László , Juhász István , Kéry G. , Knuth Előd , Kovács I. , Krámli András , Kunszt Z. , Máté A. , Molnár Emil , Nováky Béla , Opálény M. , Simonovits Miklós , Szarka Gy. , Vesztergombi György , Zalán P. |
Füzet: |
1962/január,
17 - 20. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kombinatorikus geometria síkban, Kombinatorikai leszámolási problémák, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/szeptember: 1051. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Tekintsük először a metszéspontok számának kérdését. a) A hétszög mindegyik oldalegyenesét a többi 6 oldalegyenes mindegyike metszi (1. ábra, vastag), mert nincsenek köztük párhuzamosak, éspedig mindegyik más pontban. Ugyanis konvex, mindegyik oldalegyenesének az egyik partján fekszik, ezért a bármelyik két oldalegyenes által létrejött 4 szögtartomány közül csak egyben van pontja úgy, hogy ennek mindegyik szárán van csúcsa. Ha a szögtartomány csúcsán egy harmadik oldalegyenes is átmenne, ez kettévágná -t, ami lehetetlen. ‐ A metszéspontok összes száma , mert a szorzatban minden metszéspontot 2-szer veszünk számba.
b) Kétféle átló van. Az egyik féle egy csúcsból a rá következő 2-ik csúcshoz vezet, merőleges a közbülső csúcson átmenő szimmetriatengelyre, és így párhuzamos az ezen csúccsal szemben fekvő oldallal (az ábrán szaggatva). A másik féle átló a kiindulási csúcsot a rá következő 3-ik csúccsal köti össze, párhuzamos a közbülső 2 csúcsot összekötő oldallal. Mindkét féle átlóból 7 van. A párhuzamosságok folytán a 14 átló- és 7 oldalegyenes 3-asával 7 irányt képvisel, bármelyik két irány közti szög a szögnek egész számú többszöröse. Mármost a 14 átló mindegyikét 12 másik metszi, éspedig 3 ‐ 3 átló 1 ‐ 1 csúcspontban, mert minden csúcsán 4 átló megy át, a többi 6 külön-külön. Eszerint metszésponton 2 ‐ 2 átlóegyenes megy át, a 7 csúcsot hozzájuk véve az átlóegyenesek különböző metszéspontjainak száma 49. c) A 21 oldal- és átlóegyenes mindegyikét 18 másik metszi, éspedig 5 ‐ 5 az illető egyenesen levő 2 csúcsban, mert minden csúcsán 6 egyenes megy át, a többi külön-külön. Eszerint metszésponton 2 ‐ 2 egyenes megy át, és a különböző metszéspontok száma .
II. a) Három egyenes csak akkor nem határoz meg háromszöget, ha egy ponton mennek át, vagy ha van köztük párhuzamos. Az oldalegyenesek rendszerében ez egyetlen egyeneshármasra sem teljesül, bármely kiválasztott 3 oldalegyenes háromszöget ad. A háromszög oldalegyeneseinek megválasztásában lépésről lépésre haladva az a oldalegyenest oldalegyenesei közül 7-féleképpen választhatjuk, -t a fennmaradtakból 6, végül -t 5-féleképpen. Az így adódó megválasztásban azonban minden háromszöget annyiszor veszünk tekintetbe, ahányféleképpen egymás utáni oldalegyeneseit megbetűzhetjük, vagyis 6-féleképpen: | | Eszerint a különböző háromszögek száma . b) Az előző meggondolás mintájára az átlóegyenesek közül -t 14-, -t pedig -féleképpen választhatjuk (mert az -nak vett átlóval párhuzamos átlóval nem kapnánk háromszöget). Ha és nem valamely csúcsában metszik egymást ‐ a lehetőségből I. b) szerint esetben ‐, akkor gyanánt a hátralevő más irányú átló mindegyike vehető. A további esetben és metszéspontján még 2 átló megy át, ezért választására csak lehetőség marad. Az így számba vett háromszög ismét 6-onként csak oldalainak sorrendjében különböző, így a különbözők száma 252. c) Mind a 21 egyenes közül és -féleképpen választható. Metszéspontjuk I. c) szerint esetben nem csúcsa -nak és esetben csúcsa; ezért gyanánt , ill. egyenes választható, és a különböző háromszögek száma (. III. Az egyenlő szárú háromszögek hasonló megszámlálása céljára megjegyezzük, hogy mivel szögeik többszörösei, és összegük , azért a főcsúcsukban levő szög -nak páratlan számú többszöröse. Így bármely két egyenesünk metszéspontja szerepelhet egyenlő szárú háromszög főcsúcsa gyanánt, mert az általuk bezárt 2-féle szög egyike páratlan többszöröse -nak, hiszen összegük páratlan többszöröse neki. Ha a két szár egyenesét megválasztottuk, akkor a köztük levő alakú szög (a főcsúcsnál levő külső szög) felezője kijelöli az alap egyenesének irányát. a) Az oldalegyenesek rendszeréből a két szárt a fentiekhez hasonlóan -féleképpen választhatjuk meg. Mivel minden metszésponton csak 2 oldalegyenes megy át, azért a szárakhoz a fentiek szerint meghatározott alap-irányt képviselő egyetlen egyenes nem megy át a szárak metszéspontján, így minden esetben 1 egyenlő szárú háromszöget kapunk. Összes számuk 21, éppen annyi, mint az oldalegyenesek metszéspontjainak száma. Valóban, az előzők szerint az oldalegyenesek minden metszéspontja 1 egyenlő szárú háromszögben szerepel főcsúcs gyanánt. b) Az átlóegyenesek 42 olyan metszéspontját véve főcsúcs gyanánt, amelyen csak 2 egyenes megy át ‐ amely tehát nem csúcsa -nak, ‐ minden esetben 2 egyenlő szárú háromszöget kapunk, mert a fentiek szerint meghatározott alapiránnyal 2 átló párhuzamos. 2. ábra Ha pedig valamely csúcsát vesszük főcsúcsnak, a rajta átmenő 4 átlóegyenes közül a 2 szárat -féleképpen választhatjuk. Ezek közül 2 esetben a köztük levő alakú szög felezője ugyancsak átlóegyenes, ugyanis a 2. ábrán felezi az és közti szöget, és az és közöttit; a többi 4 esetben ez nem áll fenn. E 4 esetben a 2 szár ugyancsak 2 átlóval alkot egyenlő szárú háromszöget. A 2 kiemelt esetben viszont 1 ‐ 1 háromszög elmarad. Így mindegyik csúcsa egyenlő szárú háromszögnek főcsúcsa. Az átlóegyenesekkel meghatározott egyenlő szárú háromszögek összes száma .
3. ábra c) Hasonlóan az átló és oldalegyeneseknek mind a 84 olyan metszéspontja, melyen csak 2 egyenes megy át, 3 egyenlő szárú háromszögnek főcsúcsa, mert a szárakkal meghatározott alap-iránnyal 3 egyenes párhuzamos. A bármelyik csúcsán átmenő 6 egyenes közül (3. ábra) a szárak -féleképpen választhatók. Az alap iránya majdnem minden esetben az illető csúcson átmenő egyenesek között is szerepel, csak abban a 3 esetben nem, amelyben a 2 szár az illető csúcsban hiányzó egyetlen irányra tükrös. Ebben a 3 esetben a 2 szár 3-féleképpen egészíthető ki egyenlő szárú háromszöggé, a többi 12 esetben csak 2-féleképpen. Mindezek szerint az átló- és oldalegyenesekkel meghatározott háromszögek közül az egyenlő szárúak száma: . IV. A 7 második féle átló belsejében egy kisebb szabályos hétszöget határol (1. ábra), ezen az első féle átlók nem mennek át, mert a középponttól távolabb vannak, mint a második féle átlók. mindegyik oldalához 1 ‐ 1 egyenlő szárú háromszög csatlakozik, ezek szomszédos párjai közé 1 ‐ 1 szimmetrikus ötszög (összesen 7), majd ezek közé 1 ‐ 1 deltoid illeszkedik, így az első féle átlókkal határolt szabályos hétszög területén idom van. Egy első féle átlón kívül 5 háromszög van (a lemetszett csúcsból kiinduló 6 egyenes között); a szélsők azonban a szomszédos első féle átlókhoz is hozzátartoznak, így a és közötti idomok száma . Az összes idomok száma . Knuth Előd (Budapest, I. István g. IV. o. t.)
Megjegyzések. 1. A megszámlálásokra több más lehetőség is van. Pl. a II. b) és c) részben a háromszög oldalegyeneseinek irányát ‐ a II. a) rész szerint ‐ 35-féleképpen választhatjuk, ez után a helyzetüket 2 ‐ 2, ill. 3 ‐ 3-féleképpen, ezért , ill. lehetőségre gondolunk. Így azonban egy ponton átmenő egyeneshármasokat is számításba vettünk. Ezek közös pontja mindig egy hétszögcsúcs. Egy csúcs 4 átlóegyenese közül a 3 egyenest 4-féleképpen, 6 összes egyenese közül pedig ‐ a II. a) számláláshoz hasonló meggondolással ‐ -féleképpen választhatjuk. Ezért az elfajulás , ill. esetben áll be, a valóságos háromszögek száma , ill. . 2. Érdekes, hogy az egyenlő szárú háromszögek száma az a), b), c) esetek mindegyikében több, mint fele az összes háromszögeknek (az a) és c) esetekben pontosan -a).
|
|