Kezdőlap


Feladat:	1050. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kéry Gerzson , Nagypál Botond
Füzet:	1961/május, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Halmazalgebra, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/szeptember: 1050. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Nevezzük $u$ -t, $v$ -t az $(u, v)$ számpár első, ill. 2-ik komponensének. Így a csillag művelet értelmezését így mondhatjuk ki: a rendezett I, II számpárra a csillag-műveletet alkalmazva az eredmény ismét számpár, első komponense I és II első komponensének szorzata, 2-ik komponense pedig összeg: az I-nek 2-ik és a II-nek első komponenséből képezett szorzatnak és II 2-ik komponensének összege. Az eredmény 2-ik komponense mutatja, hogy a csillag-művelet nem kommutatív, általában

\begin{matrix} {(a, b)}^{*} (a', b') \neq {(a', b')}^{*} (a, b) . \end{matrix}

A zárójelek, mint szokásos, több művelet előírása esetén a végrehajtás sorrendjét jelölik. Így (1) bal oldala

\begin{matrix} {(a a', b a' + b')}^{*} (a'', b'') = [a a' a'', (b a' + b') a'' + b''], \end{matrix}

a jobb oldal pedig

\begin{matrix} {(a, b)}^{*} (a' a'', b' a'' + b'') = [a a' a'', b a' a'' + (b' a'' + b'')], \end{matrix}

és ebből már látjuk, hogy a két oldal megfelelő komponensei egyenlők, tehát (1) helyes.
A bebizonyított állítás szerint a csillag-művelet asszociatív, vagyis ha csillag-művelet eredményével újabb csillagműveletet végzünk, a két csillagművelet végrehajtásának sorrendje felcserélhető (a számpárok sorrendje azonban nem !).
2. A kérdéses

(x, y)

számpárra

\begin{matrix} {(a, b)}^{*} (x, y) = (a x, b x + y) = (a, b) \end{matrix}

akkor és csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} a x = a és b x + y = b, \end{matrix}

vagyis ha

x = 1

és

y = 0

(feltéve, hogy

a \neq 0)

, tehát a keresett számpár:

(1, 0.)

Azt kell belátnunk, hogy így (2) jobb oldalán is

(a, b)

áll. Valóban, az értelmezés szerint

\begin{matrix} {(1, 0)}^{*} (a, b) = (1 \cdot a, 0 \cdot a + b) = (a, b) . \end{matrix}

Ezzel a feladatot megoldottuk.

Kéry Gerzson (Sopron, Széchenyi I. g. III. o. t.)

Megjegyzések: 1. Az értelmezés szerint

\begin{matrix} {(a, 0)}^{*} (b, 0) = (a b, 0) és {(1, a)}^{*} (1, b) = (1, a + b) . \end{matrix}

A számpárokat a koordinátarendszer ugyanúgy jelölt pontjaival ábrázolva és első, 2-ik komponens helyett abszcisszát, ordinátát mondva e két eredményt így mondhatjuk ki: 1. Ha a csillagműveletet (1): az

X

-tengelyen ábrázolt számpárra alkalmazzuk, az eredmény képe is az

X

tengelyen van, abszcisszája a két számpár abszcisszáinak szorzata; (2): az

x = 1

egyenesen ábrázolt két számpárra alkalmazzuk, az eredmény képe is ugyanezen az egyenesen van, ordinátája a számpárok ordinátáinak összege. Az

(1, 0)

számpárra mindkét speciális eredmény érvényes.
Általánosabban kérdezhetjük, mikor van megoldása az

{(a, b)}^{*} (x, y) = (c, d)

,,egyenletnek'', és ha van, akkor hány van. Az

\begin{matrix} a x = c, b x + y = d \end{matrix}

egyenletrendszerből

x = c / a

y = (a d - b c) / a

, hacsak a

a \neq 0

, ilyenkor a megoldás egyértelmű.

a = 0

esetén csak akkor van megoldás, ha egyszersmind

c = 0

is fennáll, ekkor bármely

x

megfelelő és hozzá

y

kiszámítható, tehát a megoldás nem egyértelmű.

Nagypál Botond (Orosháza, Táncsics M. g. IV. o. t.)

2. Mivel a feladatban értelmezett művelet nem kommutatív, az utóbbi kérdés természetes kiegészítése az

{(x, y)}^{*} (a, b) = (c, d)

egyenlet felvetése. Innen

x = c / a

y = (d - b) / a

, ha

a \neq 0

; ha pedig

a = 0

, akkor

c = 0

és

d = b

egyidejű fennállása esetén bármely

(x, y)

megoldás, máskor pedig nincs megoldás.