A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: 1. A számhármas‐párok összege és négyzetösszege valóban egyenlő: az I. párban 414, ill. és hasonlóan II: és ; III: 909 és ; IV: 520 és . Majdnem mindegyik összeadásban feltűnik, hogy az összeadandókban egy- és kéttagú számjegyegyezések is vannak. Különösen szembeszökő ez a II. és III. párban, a közbülső 0-jegyek folytán. Vegyük észre, hogy az I. pár tagjai a 8, a 30 és , a 100 és összeadandókból vannak felépítve, és 100, 30, 8 helyére rendre , , -et téve így írhatók: | | (1) | A hármasokon belüli cserékkel a II. számai is ilyen felépítésűek , és -tel. (1)-ben máris általános képleteket kaptunk tetszés szerinti , , paraméterekből ilyen tulajdonságú számhármas‐párok előállítására. Ugyanis az alapok összege mindkét oldalon , a négyzetek összege pedig . 2. A III. és IV. példák nem követik ezt a szabályszerűséget. Ha ugyanis a III. bármelyik hármasának számait bármelyik sorrendben egyenlővé tesszük (1) valamelyik hármasának kifejezéseivel, és ebből kiszámíthatjuk , , értékét, majd ezekkel (1) másik hármasának számait ‐ sohasem III. másik hármasának számait kapjuk. Pl. | | , , , és ezekkel V. , , , ami egyik számban sem egyezik az 5, 400, 504 hármassal. Más példa: | | , és -gyel VI. | |
Vegyük azonban észre, hogy a III. és IV. pár mindegyik hármasának 3-ik tagja egyenlő a másik hármas első két tagja összegével, vagyis a következő képletcsoporttal írhatók le: Itt a négyzetösszegek egyenlősége nyilván akkor és csak akkor áll fenn, ha (a paraméterek négyzetét mindjárt elhagyva) a kéttagúak négyzetéből adódó 2-szeres szorzatok egyenlők; egyszerűsítéssel: | | () | Eszerint lényegében itt is csak három paraméter van. Mivel efféle vizsgálatokban természetes számokra szokás szorítkozni, azért célszerű a pozitív egész , számpár megválasztása után az szorzat valamely osztóját venni -nak, így is egész, tehát (2) számhármasai egész számokból állnak, és összegeik, négyzetösszegeik egyenlők.
Krámli András (Szeged, Radnóti M. g. IV. o. t.) | II. megoldás: Találhatunk olyan szabályszerűséget is, amely I‐IV-et egyaránt jellemzi. Cseréljük fel I-ben és II-ben a két hármast és rendezzük mindegyik hármas tagjait növekvő sorrendbe: | | Így mind a négy pár a következő általános alakban írható: ehhez -et és -t mindenütt feltüntettük. Az átrendezés alapja ez az észrevétel: mindegyik példa egyik hármasának legkisebb és legnagyobb tagja kisebb a másik hármas legkisebb, ill. legnagyobb tagjánál, és ezek a hiányok az alapok összegében a középső tagok révén egyenlítődnek ki. Az I. megoldáshoz hasonlóan a négyzetösszegek egyenlőségéhez szükséges és elegendő a következő feltétel: Nyilvánvaló, hogy ennek ‐ még egész számokban is ‐ végtelen sok megoldása van. Ehhez pl. az átrendezett alak szerint tetszés szerinti (pozitív egész) , , mellett elegendő, hogy (pozitív) osztója legyen -nak, pl. lehet . Ha nem kötjük ki és pozitív voltát, akkor minden egyenlő összegű hármaspár írható a (3) alakban, és a négyzetösszeg egyenlőségének szükséges és elégséges feltétele (4).
Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. IV. o. t.) | Megjegyzések. 1. Az első két pár szabályszerűségeihez a bizonyos számsorozatok vizsgálatában használatos ,,különbségek vizsgálatának módszereivel'' is eljuthatunk. Vegyük észre, hogy I-ben , valamint (és hasonló áll fenn II-ben is). Már most a számhármasokat , , , ill. , , -vel jelölve a
egyenletrendszerből, ahol , , -et paraméternek tekintjük, ‐ külön‐külön az 1-es, ill. 2-es indexű ismeretlenekre ‐
Ezekkel a négyzetösszeg mindkét hármasban -nek adódik, tehát a (5) képletrendszer megfelelő számhármas‐párokat ad.
Gálfi László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.) | 2. III-ban viszont a hányadosok vizsgálata ad jó ötletet: a és arányok értéke egyenlő. (IV-ben hasonlóan két arány értékét 25-nek találjuk.) Ezzel tulajdonképpen más úton jutottunk el ()-ra. Ezekből adódik a (2)-höz hasonló, de mellékfeltételhez nem kötött | | (6) | megoldás (szimmetrikus alak elérése végett -et és -t szorzat alakban vettük fel, a fenti arányt pedig -nek). 3. Ha III-ban 4 és 5 helyett 004-et, ill. 005-öt írunk, akkor az egyik hármas számait hátulról előre kiolvasva a másik hármas számait kapjuk. Az érdeklődő olvasókra hagyjuk annak az érdekességnek a megmagyarázását, hogy ez a többlet‐tulajdonság a III. két hármasából képezett V. és VI. számhármasok egybekapcsolásával előálló párban is megvan. |