Kezdőlap


Feladat:	1048. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Gálfi László , Krámli András
Füzet:	1961/szeptember, 11 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész számok összege, Négyzetszámok összege, Számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/szeptember: 1048. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: 1. A számhármas‐párok összege és négyzetösszege valóban egyenlő: az I. párban 414, ill. $84 932$ és hasonlóan II: $90 621$ és $4 549 468 547$ ; III: 909 és $414 041$ ; IV: 520 és $149 432$ . Majdnem mindegyik összeadásban feltűnik, hogy az összeadandókban egy- és kéttagú számjegyegyezések is vannak. Különösen szembeszökő ez a II. és III. párban, a közbülső 0-jegyek folytán. Vegyük észre, hogy az I. pár tagjai a 8, a 30 és $60 = 2 \cdot 30$ , a 100 és $2 \cdot 100$ összeadandókból vannak felépítve, és 100, 30, 8 helyére rendre $p$ , $q$ , $r$ -et téve így írhatók:

\begin{matrix} q + r, p + r, 2 p + 2 q + r; r, p + 2 q + r, 2 p + q + r . \end{matrix}

(1)

A hármasokon belüli cserékkel a II. számai is ilyen felépítésűek

p = 30 000

q = 200

és

r = 7

-tel. (1)-ben máris általános képleteket kaptunk tetszés szerinti

p

q

r

paraméterekből ilyen tulajdonságú számhármas‐párok előállítására. Ugyanis az alapok összege mindkét oldalon

3 p + 3 q + 3 r

, a négyzetek összege pedig

5 (p^{2} + q^{2}) + 3 r^{2} + 6 r (p + q) + 8 p q

.
2. A III. és IV. példák nem követik ezt a szabályszerűséget. Ha ugyanis a III. bármelyik hármasának számait bármelyik sorrendben egyenlővé tesszük (1) valamelyik hármasának kifejezéseivel, és ebből kiszámíthatjuk

p

q

r

értékét, majd ezekkel (1) másik hármasának számait ‐ sohasem III. másik hármasának számait kapjuk. Pl.

\begin{matrix} q + r = 4, p + r = 500, 2 p + 2 q + r = 405 -ből \end{matrix}

p = 299

q = - 197

r = 201

, és ezekkel V.

r = 201

p + 2 q + r = 106

2 p + q + r = 602

, ami egyik számban sem egyezik az 5, 400, 504 hármassal. Más példa:

\begin{matrix} r = 504, p + 2 q + r = 400, 2 p + q + r = 5 -ből \end{matrix}

p = - 298

q = 97

és

r = 504

-gyel
VI.

\begin{matrix} q + r = 601, p + r = 206, 2 p + 2 q + r = 102. \end{matrix}

Vegyük azonban észre, hogy a III. és IV. pár mindegyik hármasának 3-ik tagja egyenlő a másik hármas első két tagja összegével, vagyis a következő képletcsoporttal írhatók le:

\begin{matrix} s, t, u + v; u, v, s + t . \end{matrix}

(2)

Itt a négyzetösszegek egyenlősége nyilván akkor és csak akkor áll fenn, ha (a paraméterek négyzetét mindjárt elhagyva) a kéttagúak négyzetéből adódó 2-szeres szorzatok egyenlők; egyszerűsítéssel:

\begin{matrix} u v = s t, vagyis pl v = s t / u . \end{matrix}

(

2 a

)

Eszerint lényegében itt is csak három paraméter van.
Mivel efféle vizsgálatokban természetes számokra szokás szorítkozni, azért célszerű a pozitív egész

s

t

számpár megválasztása után az

s t

szorzat valamely osztóját venni

u

-nak, így

v

is egész, tehát (2) számhármasai egész számokból állnak, és összegeik, négyzetösszegeik egyenlők.

Krámli András (Szeged, Radnóti M. g. IV. o. t.)

II. megoldás: Találhatunk olyan szabályszerűséget is, amely I‐IV-et egyaránt jellemzi. Cseréljük fel I-ben és II-ben a két hármast és rendezzük mindegyik hármas tagjait növekvő sorrendbe:

\begin{matrix} \begin{matrix} I. & 8, & 168, & 238; & 38, & 108, & 268; \end{matrix} \end{matrix}

Így mind a négy pár a következő általános alakban írható:

\begin{matrix} a, b + x + y, c; a + x, b, c + y, \end{matrix}

(3)

ehhez

x

-et és

y

-t mindenütt feltüntettük. Az átrendezés alapja ez az észrevétel: mindegyik példa egyik hármasának legkisebb és legnagyobb tagja kisebb a másik hármas legkisebb, ill. legnagyobb tagjánál, és ezek a hiányok az alapok összegében a középső tagok révén egyenlítődnek ki.
Az I. megoldáshoz hasonlóan a négyzetösszegek egyenlőségéhez szükséges és elegendő a következő feltétel:

\begin{matrix} b x + b y + x y = a x + c y . \end{matrix}

(4)

Nyilvánvaló, hogy ennek ‐ még egész számokban is ‐ végtelen sok megoldása van. Ehhez pl. az átrendezett

\begin{matrix} a = b + y + (b - c) \cdot \frac{y}{x} \end{matrix}

alak szerint tetszés szerinti (pozitív egész)

b

c

y

mellett elegendő, hogy

x

(pozitív) osztója legyen

y

-nak, pl. lehet

x = 1

.
Ha nem kötjük ki

x

és

y

pozitív voltát, akkor minden egyenlő összegű hármaspár írható a (3) alakban, és a négyzetösszeg egyenlőségének szükséges és elégséges feltétele (4).

Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az első két pár szabályszerűségeihez a bizonyos számsorozatok vizsgálatában használatos ,,különbségek vizsgálatának módszereivel'' is eljuthatunk. Vegyük észre, hogy I-ben

108 - 38 = 238 - 168

, valamint

268 - 108 = 168 - 8

(és hasonló áll fenn II-ben is). Már most a számhármasokat

a_{1}

b_{1}

c_{1}

, ill.

a_{2}

b_{2}

c_{2}

-vel jelölve a

\begin{matrix} b_{1} - a_{1} & = c_{2} - b_{2} = K \\ c_{1} - b_{1} & = b_{2} - a_{2} = L \\ a_{1} + b_{1} + c_{1} & = a_{2} + b_{2} + c_{2} = M \end{matrix}

egyenletrendszerből, ahol

K

L

M

-et paraméternek tekintjük, ‐ külön‐külön az 1-es, ill. 2-es indexű ismeretlenekre ‐

\begin{matrix} a_{1} = (- 2 K - L + M) / 3, b_{1} = (K - L + M) / 3, c_{1} = (K + 2 L + M) / 3; & (5) \\ a_{2} = (- K - 2 L + M) / 3, b_{2} = (- K + L + M) / 3, c_{2} = (2 K + L + M) / 3. \end{matrix}

Ezekkel a négyzetösszeg mindkét hármasban

(6 K^{2} + 6 L^{2} + 3 M^{2} + 6 K L) / 9

-nek adódik, tehát a (5) képletrendszer megfelelő számhármas‐párokat ad.

Gálfi László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)

2. III-ban viszont a hányadosok vizsgálata ad jó ötletet: a

b_{1} : a_{2} = 500 : 5 = 100

és

b_{2} : a_{1} = 400 : 4 = 100

arányok értéke egyenlő. (IV-ben hasonlóan két arány értékét 25-nek találjuk.) Ezzel tulajdonképpen más úton jutottunk el (

2 a

)-ra. Ezekből adódik a (2)-höz hasonló, de mellékfeltételhez nem kötött

\begin{matrix} k l, m n, k n + l m; l m, k n, k l + m n \end{matrix}

(6)

megoldás (szimmetrikus alak elérése végett

a_{1}

-et és

a_{2}

-t szorzat alakban vettük fel, a fenti arányt pedig

n / l

-nek).
3. Ha III-ban 4 és 5 helyett 004-et, ill. 005-öt írunk, akkor az egyik hármas számait hátulról előre kiolvasva a másik hármas számait kapjuk. Az érdeklődő olvasókra hagyjuk annak az érdekességnek a megmagyarázását, hogy ez a többlet‐tulajdonság a III. két hármasából képezett V. és VI. számhármasok egybekapcsolásával előálló párban is megvan.