|
Feladat: |
1046. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bácsy Zs. , Bencsik I. , Biborka T. , Bollobás B. , Csikor F. , Farkas Zoltán , Frint G. , Fritz J. , Gálfi László , Grüner Gy. , Kardeván P. , Kóta G. , Kóta J. , Marton D. , Máté A. , Máté Zs. , Molnár E. , Náray-Szabó G. , Pinkert A. , Székely J. , Tattay Emőke , Várady G. , Zalán P. |
Füzet: |
1961/április,
159 - 160. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szabályos sokszögek által határolt testek, Térgeometria alapjai, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/május: 1046. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek a szabályos tetraéder hosszúságú éleit 3‐3 egyenlő részre osztó pontok ‐ a szóban forgó konvex test csúcsai ‐ az ábra szerint , , , , , , , , , , , .
Minden csúcsból a szemben fekvő élét harmadoló csúcsokba lehet átlót húzni, így a 12 testátló a következő: | | Valamennyi átló egyenlő hosszú, mert alkalmas forgatással bármelyik csúcs átvihető bármelyik másik csúcs helyére úgy, hogy ugyanekkor minden csúcs valamely csúcs eredeti helyére kerül, és így bármelyik átló bármelyik másik helyére juttatható. Ugyanis -t a testmagasságai körüli -os forgatások önmagába viszik át, így bármelyik éle bármelyik másikba átvihető ‐ szemközti, azaz közös végponttal nem bíró élek két ilyen forgatással ‐, továbbá két szemben fekvő él felezőpontjának összekötő egyenese körüli -os forgatással ezen élek végpontjai felcserélhetők. E tulajdonságokat örökli, mert csúcsait valamennyi élén egyformán és az él középpontjára szimmetrikusan szerkesztettük. Továbbá -nak van középpontja, mert az előbbiek szerint minden csúcsa egyenlő távolságra van -nek középpontjától, tehát az -nak is középpontja. a szabályosság folytán -nek egyszersmind súlypontja is, és így a magasságszakaszoknak a lapokhoz közelebbi negyedelő pontjában an. A testátlók egyenlő távolságra vannak -tól, mert körül középponttal gömb írható, az átlók e gömbnek egyenlő hosszú húrjai, és egyenlő hosszú gömbi húrok egyenlő távol vannak a gömb középpontjától. -nak 18 éle és hatszöglapjainak hosszúságú átlói ‐ szám szerint ‐ ötösével párhuzamosak, közös irányuk egy élének iránya; pl . Ezért két nem egy lapban fekvő ilyen szakaszon átmenő sík trapézban, esetleg téglalapban metszi -t. Minden átlón megy át ilyen síkmetszet. Az és négyszögek téglalapok, mert , ill. oldaluk párhuzamos -sel, és így merőleges -ra. 1. Határozzuk meg pl. az testátló hosszát. -ben és , mert a szabályos háromszög egyik oldala, így Pythagorász-tételével . 2. Könnyen belátható, hogy testmagassága . Ezért ‐ -nel a lap középpontját jelölve ‐, . Másrészt , ezért az derékszögű háromszögből . Most már az egyenlő szárú háromszögből -nak -tól való távolságára adódik. 3. A testátlók metszéspontjainak számához elég ismét pl. az átlón létrejött metszéspontok számát megállapítani. Vegyük sorra mellett a többi átlókat. és -nak közös végpontja van -val, ezt nem tekintjük metszésnek. A téglalapban a felezőpontjában metszi -t. ‐ síkja párhuzamos síkjával és különböző attól, mert a síkot az egymástól különböző , egyenesekben metszik. Így átlói: és nem metszik -t. (Egyébként és kitérők, mert -nek oldala párhuzamos -nek oldalával, és így a megfelelő átlók nem párhuzamosak; ‐ ez azonban most lényegtelen.) ‐ Tekintsük most az -ba, majd a -ba befutó éleken átmenő téglalap-, ill. trapézmetszetekben fekvő testátlókat. Az élen átmenő trapézmetszet átlója nem metszi -t, mert a trapéznak az -t magában foglaló -gyel való metszésvonala , és ezt nem -ban metszi. Az -n átmenő trapézban metszi -t éspedig az -hoz közelebbi harmadoló pontjában, mert ; viszont az -beli átló nem metszi -t. -n és -n nem megy át ilyen metszet. Hasonlóan a trapéz átlója a -hoz közelebbi harmadolópontjában metszi, a -beli és a -beli pedig nem metszi -t. Ezzel valamennyi testátlót megvizsgáltuk: az testátlót a belsejében 3 másik átló metszi, mindegyik más-más pontban. Mivel mind a 12 átlón 3‐3 metszéspont van, és minden metszéspont két átlóhoz tartozik hozzá, azért az átlók belső metszéspontjainak száma . Tágabb értelemben pedig, a csúcsokat is az átlók metszéspontjai közé számítva, az átlók közös pontjainak száma .
Farkas Zoltán (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. II. o. t.) |
Gálfi László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.) | L. Molnár Ferenc: A tetraéder nevezetes pontjairól. K. M. L. 16 (1958) 1‐6. és 33‐38. o., közelebbről 1. o. |
|