Kezdőlap


Feladat:	1046. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bácsy Zs. , Bencsik I. , Biborka T. , Bollobás B. , Csikor F. , Farkas Zoltán , Frint G. , Fritz J. , Gálfi László , Grüner Gy. , Kardeván P. , Kóta G. , Kóta J. , Marton D. , Máté A. , Máté Zs. , Molnár E. , Náray-Szabó G. , Pinkert A. , Székely J. , Tattay Emőke , Várady G. , Zalán P.
Füzet:	1961/április, 159 - 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszögek által határolt testek, Térgeometria alapjai, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/május: 1046. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a $P Q R S = T$ szabályos tetraéder $3 b$ hosszúságú éleit 3‐3 egyenlő részre osztó pontok ‐ a szóban forgó $U$ konvex test csúcsai ‐ az ábra szerint $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , $J$ , $K$ , $L$ , $M$ .

Minden csúcsból a

T

szemben fekvő élét harmadoló csúcsokba lehet átlót húzni, így a 12 testátló a következő:

\begin{matrix} A J, A K, B L, B M, C G, C H, D J, D K, E L, E M, F G, F H . \end{matrix}

Valamennyi átló egyenlő hosszú, mert alkalmas forgatással bármelyik csúcs átvihető bármelyik másik csúcs helyére úgy, hogy ugyanekkor minden csúcs valamely csúcs eredeti helyére kerül, és így bármelyik átló bármelyik másik helyére juttatható. Ugyanis

T

-t a testmagasságai körüli

120^{\circ}

-os forgatások önmagába viszik át, így bármelyik éle bármelyik másikba átvihető ‐ szemközti, azaz közös végponttal nem bíró élek két ilyen forgatással ‐, továbbá két szemben fekvő él felezőpontjának összekötő egyenese körüli

180^{\circ}

-os forgatással ezen élek végpontjai felcserélhetők. E tulajdonságokat

U

örökli, mert csúcsait

T

valamennyi élén egyformán és az él középpontjára szimmetrikusan szerkesztettük.
Továbbá

U

-nak van középpontja, mert az előbbiek szerint minden csúcsa egyenlő távolságra van

T

-nek

O

középpontjától, tehát

O

U

-nak is középpontja.

O

a szabályosság folytán

T

-nek egyszersmind súlypontja is, és így a magasságszakaszoknak a lapokhoz közelebbi negyedelő pontjában an.² A testátlók egyenlő távolságra vannak

O

-tól, mert

U

körül

O

középponttal gömb írható, az átlók e gömbnek egyenlő hosszú húrjai, és egyenlő hosszú gömbi húrok egyenlő távol vannak a gömb középpontjától.

U

-nak 18 éle és hatszöglapjainak

2 b

hosszúságú átlói ‐ szám szerint

4 \cdot 3 = 12

‐ ötösével párhuzamosak, közös irányuk

T

egy élének iránya; pl

A B ∥ D E ∥ G H ∥ M J ∥ L K

. Ezért két nem egy lapban fekvő ilyen szakaszon átmenő sík trapézban, esetleg téglalapban metszi

U

-t. Minden átlón megy át ilyen síkmetszet. Az

A B K L = V_{1}

és

D E J M = V_{2}

négyszögek téglalapok, mert

A L

, ill.

D M

oldaluk párhuzamos

R S

-sel, és így merőleges

P Q

-ra.
1. Határozzuk meg pl. az

A K

testátló hosszát.

V_{1}

-ben

A B = b

és

B K = 2 b

, mert

B K

B K Q

szabályos háromszög egyik oldala, így Pythagorász-tételével

A K = b \sqrt[]{5}

.
2. Könnyen belátható, hogy

T

testmagassága

P Q \sqrt[]{2 / 3} = b \sqrt[]{6}

. Ezért ‐

N

-nel a

P Q R

lap középpontját jelölve ‐,

O N = b \sqrt[]{6} / 4

. Másrészt

N K = b

, ezért az

O K N

derékszögű háromszögből

O K = b \sqrt[]{22} / 4

. Most már az

A K O

egyenlő szárú háromszögből

O

-nak

A K

-tól való távolságára

d = b \sqrt[]{2} / 4

adódik.
3. A testátlók metszéspontjainak számához elég ismét pl. az

A K

átlón létrejött metszéspontok számát megállapítani. Vegyük sorra

A K

mellett a többi átlókat.

A J

és

K D

-nak közös végpontja van

A K

-val, ezt nem tekintjük metszésnek. A

V_{1}

téglalapban

B L

a felezőpontjában metszi

A K

-t. ‐

V_{2}

síkja párhuzamos

V_{1}

síkjával és különböző attól, mert a

P R S

síkot az egymástól különböző

D M

A L

egyenesekben metszik. Így

V_{2}

átlói:

D J

és

E M

nem metszik

A K

-t. (Egyébként

A K

és

D J

kitérők, mert

V_{1}

-nek

A B = b

oldala párhuzamos

V_{2}

-nek

D E = 2 b

oldalával, és így a megfelelő átlók nem párhuzamosak; ‐ ez azonban most lényegtelen.) ‐ Tekintsük most az

A

-ba, majd a

K

-ba befutó éleken átmenő téglalap-, ill. trapézmetszetekben fekvő testátlókat. Az

A B

élen átmenő

A B J M

trapézmetszet

B M

átlója nem metszi

A K

-t, mert a trapéznak az

A K

-t magában foglaló

V_{1}

-gyel való metszésvonala

A B

, és ezt

B M

nem

A

-ban metszi. Az

A C

-n átmenő

A C K G

trapézban

C G

metszi

A K

-t éspedig az

A

-hoz közelebbi harmadoló pontjában, mert

A C : G K = 1 : 2

; viszont az

A C J H

-beli

C H

átló nem metszi

A K

-t.

A D

-n és

K J

-n nem megy át ilyen metszet. Hasonlóan a

K F A H

trapéz

F H

átlója a

K

-hoz közelebbi harmadolópontjában metszi, a

K F D G

-beli

F G

és a

K L D E

-beli

K E

pedig nem metszi

A K

-t. Ezzel valamennyi testátlót megvizsgáltuk: az

A K

testátlót a belsejében 3 másik átló metszi, mindegyik más-más pontban.
Mivel mind a 12 átlón 3‐3 metszéspont van, és minden metszéspont két átlóhoz tartozik hozzá, azért az átlók belső metszéspontjainak száma

12 \cdot 3 / 2 = 18

. Tágabb értelemben pedig, a csúcsokat is az átlók metszéspontjai közé számítva, az átlók közös pontjainak száma

18 + 12 = 30

Farkas Zoltán (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. II. o. t.)

Gálfi László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

²L. Molnár Ferenc: A tetraéder nevezetes pontjairól. K. M. L. 16 (1958) 1‐6. és 33‐38. o., közelebbről 1. o.