Feladat: 1045. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bácsy Zs. ,  Biborka T. ,  Bollobás B. ,  Bónis Katalin ,  Fábián G. ,  Farkas Z. ,  Fejes L. ,  Fekete J. ,  Fritz J. ,  Gagyi Pálffy A. ,  Gálfi l. ,  Góth L. ,  Grüner Gy. ,  Hahn J. ,  Kardeván P. ,  Kóta G. ,  Kóta J. ,  Máté Zs. ,  Miklóssy E. ,  Molnár E. ,  Náray-Szabó G. ,  Nováky A. ,  Nováky B. ,  Pinkert A. ,  Sólyom I. ,  Szarka Gy. ,  Székely Jenő ,  Tattay Emőke ,  Várady G. ,  Zalán P. 
Füzet: 1961/április, 157 - 159. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Gömbi geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/május: 1045. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás: I. 1. A földfelszín egy P pontjának az Egyenlítő E síkjától, ill. a forgástengelytől való távolsága P hosszúsági körének síkjában az R sugárból és a φ szélességből z=Rsinφ, ill. d=Rcosφ (1. ábra felső része).

 
 
1. ábra
 

A Földet a szokásos állásban rajzolva és ennek megfelelően a déli szélességeket negatívnak véve z is előjellel értendő. B-re z1=4696, d1=4304; A-ra pedig z2=3233, d2=5488 (minden távolságot km-ben adunk meg, így sehol sem lépünk túl a 4-jegyű táblázatokkal elérhető pontosságon).
2. A 0-os hosszúsági kör H1 síkjától való távolság P szélességi körének síkjában az előbbi d-ből és a λ hosszúságból y=dsinλ. (1. ábra alsó része). A nyugati hosszúságokat negatívnak véve, más szóval ha -180<λ180, y is előjellel adódik. Hasonlóan a ±90-os délkörök H2 síkjától való távolság x=dcosλ. -B-re y1=1408, x1=4066; A-ra y2=-915, x2=5411.
(A pontokat így tulajdonképpen egy az ábrázoló geometriából ismert, térbeli derékszögű koordinátarendszerben adtuk meg, ennek origója a Föld O középpontja, X-, Y-tengelye az Egyenlítő λ=0, ill. λ=+90 hosszúságú pontján lép ki (Accrától, ill. Kalkuttától délre), Z-tengelye pedig az Északi‐sarkon.
3. Eredményeinkből megkaphatjuk annak a T téglatestnek az a, b, c éleit, amelynek két csúcsa A és B, lapsíkjai pedig átmennek ezeken és párhuzamosak E, H1, H2-vel; az élekből pedig folytatólag a húron mért AB=h távolságot, ugyanis AB a T-nek testátlója. Éspedig a=x2-x1=1345, b=y1-y2=2323, c=z1-z2=1463, és így h=a2+b2+c2=3057 km.
 
 
2. ábra
 

4. A Föld felszínén a legrövidebb AB ívet az ABO sík metszi ki. A metszet főkör (2. ábra), így sugara R. Legyen AOB=ϑ, ekkor az AOB háromszögből a koszinusz tétellel
cosϑ=1-h2/2R2.

Innen ϑ=27,78, ívmértékben 0,4848, és így a felszínen mérve AB=Rϑ=3088 km.
5. Az AB húr legmélyebben, vagyis O-hoz legközelebb fekvő pontja az F felezőpont, mélysége m=R(1-cosϑ/2)=187 km.
 

II. A kívánt általános képletet a fentiek alapján adjuk meg, a ϑ szög kiszámítására. Ebből az ív egyszerűen megkapható. T éleinek hossza ‐ esetleg ellentett előjellel, ez azonban a további négyzetreemelésre tekintettel nem lényeges:
x1-x2=d1cosλ1-d2cosλ=R(cosφ1cosλ1-cosφ2cosλ2),y1-y2=d1sinλ1-d2sinλ2=R(cosφ1sinλ1-cosφ2sinλ2,),z1-z2=R(sinφ1-sinφ2).
Ezekkel, mindjárt átcsoportosítva, majd ismert trigonometrikus azonosságok felhasználásával
(x1-x2)2+(y1-y2)2=R2[cos2φ1(cos2λ1+sin2λ1)+cos2φ2(cos2λ2++sin2λ2)-2cosφ1cosφ2(cosλ1cosλ2+sinλ1sinλ2)]==R2[cos2φ1+cos2φ2-2cosφ1cosφ2cos(λ1-λ2)],


tehát
h2=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2=R2[(cos2φ1+sin2φ1)++(cos2φ2+sin2φ2)-2sinφ1sinφ2-2cosφ1cosφ2cos(λ1-λ2)]==2R2[1-sinφ1sinφ2-cosφ1cosφ2cos(λ1-λ2)],
végül (1) alapján
cosϑ=sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cos(λ1-λ2).
Innen ϑ egyértelműen kiszámítható ‐ ugyanis nyilván 0<ϑ180.
 

Székely Jenő (Pécs, Nagy Lajos g. III. o. t.)
 

Megjegyzés. Általános eredményünk a gömbi trigonometria ún. oldal‐koszinusz tételének az ÉAB gömbháromszögre való alkalmazásával is megkapható, ahol É az Északi‐sark. Több dolgozat csak a végeredményre törekedve mindjárt ezt írta fel és ezt tekintette megoldásnak, ill. második megoldásnak. Itt a számpéldán felül annak beláttatása volt a cél, hogy a képlethez a gömbi trigonometria tételeinek rendszeres kiépítése nélkül is el lehet jutni.