|
Feladat: |
1045. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bácsy Zs. , Biborka T. , Bollobás B. , Bónis Katalin , Fábián G. , Farkas Z. , Fejes L. , Fekete J. , Fritz J. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi l. , Góth L. , Grüner Gy. , Hahn J. , Kardeván P. , Kóta G. , Kóta J. , Máté Zs. , Miklóssy E. , Molnár E. , Náray-Szabó G. , Nováky A. , Nováky B. , Pinkert A. , Sólyom I. , Szarka Gy. , Székely Jenő , Tattay Emőke , Várady G. , Zalán P. |
Füzet: |
1961/április,
157 - 159. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Gömbi geometria, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/május: 1045. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás: I. 1. A földfelszín egy pontjának az Egyenlítő síkjától, ill. a forgástengelytől való távolsága hosszúsági körének síkjában az sugárból és a szélességből , ill. (1. ábra felső része). 1. ábra A Földet a szokásos állásban rajzolva és ennek megfelelően a déli szélességeket negatívnak véve is előjellel értendő. -re , ; -ra pedig , (minden távolságot km-ben adunk meg, így sehol sem lépünk túl a 4-jegyű táblázatokkal elérhető pontosságon). 2. A -os hosszúsági kör síkjától való távolság szélességi körének síkjában az előbbi -ből és a hosszúságból . (1. ábra alsó része). A nyugati hosszúságokat negatívnak véve, más szóval ha , is előjellel adódik. Hasonlóan a -os délkörök síkjától való távolság . -re , ; A-ra , . (A pontokat így tulajdonképpen egy az ábrázoló geometriából ismert, térbeli derékszögű koordinátarendszerben adtuk meg, ennek origója a Föld középpontja, -, -tengelye az Egyenlítő , ill. hosszúságú pontján lép ki (Accrától, ill. Kalkuttától délre), -tengelye pedig az Északi‐sarkon. 3. Eredményeinkből megkaphatjuk annak a téglatestnek az , , éleit, amelynek két csúcsa és , lapsíkjai pedig átmennek ezeken és párhuzamosak , , -vel; az élekből pedig folytatólag a húron mért távolságot, ugyanis a -nek testátlója. Éspedig , , , és így km. 2. ábra 4. A Föld felszínén a legrövidebb ívet az sík metszi ki. A metszet főkör (2. ábra), így sugara . Legyen , ekkor az háromszögből a koszinusz tétellel Innen , ívmértékben , és így a felszínen mérve km. 5. Az húr legmélyebben, vagyis -hoz legközelebb fekvő pontja az felezőpont, mélysége km.
II. A kívánt általános képletet a fentiek alapján adjuk meg, a szög kiszámítására. Ebből az ív egyszerűen megkapható. éleinek hossza ‐ esetleg ellentett előjellel, ez azonban a további négyzetreemelésre tekintettel nem lényeges:
Ezekkel, mindjárt átcsoportosítva, majd ismert trigonometrikus azonosságok felhasználásával
tehát
végül (1) alapján | | Innen egyértelműen kiszámítható ‐ ugyanis nyilván .
Székely Jenő (Pécs, Nagy Lajos g. III. o. t.) | Megjegyzés. Általános eredményünk a gömbi trigonometria ún. oldal‐koszinusz tételének az ÉAB gömbháromszögre való alkalmazásával is megkapható, ahol É az Északi‐sark. Több dolgozat csak a végeredményre törekedve mindjárt ezt írta fel és ezt tekintette megoldásnak, ill. második megoldásnak. Itt a számpéldán felül annak beláttatása volt a cél, hogy a képlethez a gömbi trigonometria tételeinek rendszeres kiépítése nélkül is el lehet jutni. |
|