A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Helyezzünk az ábrára derékszögű koordinátarendszert, vegyük origónak középpontját, tengelynek a átmérő egyenesét. Legyen egy a követelménynek megfelelő kör , és ennek középpontja , továbbá sugara .
Nyilvánvaló, hogy és -nek általában nincs közös pontja; mert ha van, akkor legrövidebb távolságuk és vele sugara 0, vagyis csak tágabb értelemben tekinthető körnek. Ilyenkor , és ez a pont -n is, -n is rajta van, vagyis -nek , végpontjai tágabb értelemben a mértani helyhez tartoznak. ‐ Minden más esetben és (mint szakasz) érintkezési pontja, ami nyilván a pont, a belsejében van, és így egyrészt másrészt magában foglalja -t, és így -t is. Szorítkozzunk egyelőre a mértani helynek az félsíkon levő pontjaira. Ekkor sugara, egyben és legközelebbi pontjainak távolsága , -nek -tól való távolsága , és így . (Ez pozitív, mert nem foglalhatja magában -t ‐ különben ugyanis nem érinthetné -t ‐, ezért -nek -tól legtávolabbi pontja a -nak ugyanazon a sugarán van, mint a -hoz legközelebbi pontja, és így -t a koordinátákkal is kifejezve, és két kifejezését összekapcsolva innen négyzetreemeléssel és további átalakítással
végül Ezek szerint minden (az félsíkon fekvő) rajta van azon a hiperbolán, melynek középpontja a (0, ) pont, valós tengelye az tengely, fő-, ill. melléktengelyének félhossza , ill. , és így csúcsai a és a pontok. Fordítva e hiperbolának nem minden pontja tartozik hozzá a keresett mértani helyhez. A -t tartalmazó ágnak nincs pontja belsejében, mert az ág legkisebb ordinátájú pontja , és ez éppen -nak legnagyobb ordinátájú pontja; ‐ tehát pontjai nem tartoznak a mértani helyhez. A -et tartalmazó ág az -tengelyt, mint az félsík határvonalát az abszcisszájú pontokban, , -ben metszi. Már most a ág ívének pontjai a kör egyik félkörében vannak, rájuk az (1), az és a (2) feltételek mindegyike teljesül; további pontjaira viszont nem. Mindezek szerint a keresett mértani helyet a hiperbolaív és ennek az -tengelyre vett tükörképe alkotja. Ha azokat a -pontokat is elfogadjuk, amelyekkel a szakasz meghosszabbításait érinti, akkor a ág minden pontja a mértani helyhez tartozik. Ezekre ugyanis , így sugara , és mivel ekkor kívül van -n, azért , vagyis teljesül a fenti követelmény. ‐ Viszont a ágon azok a pontok vannak, amelyekre , azaz , vagyis amelyekre nézve -nak -től legtávolabbi pontja annyira van -től, mint sugara.
Nagy Dezső (Budapest, Piarista g. III. o. t.) | Megjegyzés. Akik ismerik a hiperbolának ún. irányvonalas tulajdonságát, azok a 623. gyakorlat III. megoldásából adódó megállapítás alapján is kimondhatják, hogy a mértani hely pontjai a fenti hiperbolán vannak. Könnyen meg lehet mutatni ugyanis, hogy az hiperbola minden pontjára az fókusztól (ahol , és az ún. irányvonaltól való távolságok aránya állandó, és értéke , az ún. numerikus excentricitás, 1-nél nagyobb szám. (Ugyanez áll az és -től mért távolságokra.) Eszerint a szóban forgó hiperbola egyik fókusza a kör középpontja, irányvonala a -re merőleges sugár felező merőlegese és numerikus excentricitása 2.
Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. III. o. t.) |
Lásd K. M. L. 22 (1961) 17. o. |