Kezdőlap


Feladat:	1042. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bácsy Zs. , Bencsik I. , Biborka T. , Bollobás B. , Bornes Klára , Csikor F. , Frint G. , Fritz J. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi l. , Grüner Gy. , Hahn J. , Hajna J. , Kardeván P. , Kiss Tünde , Kóta G. , Kóta J. , Kunszt Z. , Marton D. , Máté A. , Máté Zs. , Molnár E. , Nagy Dezső , Náray-Szabó G. , Németh I. , Nováky A. , Nováky B. , Pinkert A. , Rozváczy Judit , Simonovits M. , Sólyom I. , Szalay G. , Szegő K. , Székely J. , Várady G. , Veszelovszki Erzsébet
Füzet:	1961/április, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/május: 1042. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emeljük ki a kéttagú tényezőkből $x$ együtthatóját:

\begin{matrix} 2 \cdot 3 \cdot 6 (x - 1) (x - \frac{3}{2}) (x - \frac{4}{3}) (x - \frac{5}{6}) = a, \end{matrix}

(2)

és vegyük észre, hogy az első és a harmadik tényező összege egyenlő a második és a negyedik tényező összegével:

\begin{matrix} (x - 1) + (x - \frac{4}{3}) = 2 x - \frac{7}{3} = (x - \frac{3}{2}) + (x - \frac{5}{6}) . \end{matrix}

Ennek alapján új ismeretlennek ezen összeg felét:

\begin{matrix} z = x - \frac{7}{6} \end{matrix}

-ot véve feladatunkat megkönnyíthetjük. Ekkor

x = z + 7 / 6

, és egyenletünk így alakul:

\begin{matrix} (z + \frac{1}{6}) (z - \frac{1}{3}) (z - \frac{1}{6}) (z + \frac{1}{3}) = (z^{2} - \frac{1}{36}) (z^{2} - \frac{1}{9}) = \frac{a}{36}, \\ z^{4} - \frac{5}{36} z^{2} + \frac{1}{324} - \frac{a}{36} = 0. \end{matrix}

Innen

z^{2}

-re két értéket kapunk ‐ hacsak a diszkrimináns pozitív ‐

\begin{matrix} z^{2} = \frac{5 \pm \sqrt[]{9 + 144 a}}{72}, \end{matrix}

ezekből pedig négyzetgyökvonással

z

-re két‐két gyököt, hacsak

z^{2}

értékei nem negatívok. Végül

x

-et a fenti helyettesítés alapján számíthatjuk ki.
Az első számpéldában

a = 14

z^{2} = 25 / 36

és

z^{2} = - 5 / 9

. Valós

z

-t csak az előbbiből kapunk:

z = \pm 5 / 6

, és így

x_{1} = 2

x_{2} = 1 / 3

a = 0, 1

-ből (négy tizedes jegynyi pontossággal)

z^{2} \approx 0, 1366

, és

z^{2} \approx 0, 0022

, innen

z_{1,2} = \pm 0, 370

és

z_{3,4} = \pm 0, 047

, végül

x_{1} = 1, 536

x_{2} = 0, 796

;

x_{3} = 1, 21

x_{4} \approx 1, 12

. Négy valós gyököt kapunk.
Végül

a = - 0, 0544

-ből hasonlóan

z^{2} \approx 0, 0844

0, 0544

z \approx \pm 0, 291

\pm 0, 233

, végül

x_{1} \approx 1, 458

x_{2} \approx 0, 876

x_{3} \approx 1, 4

x_{4} \approx 0, 933 = 14 / 15

, mind a négy gyök valós.

Bornes Klára (Budapest, Teleki Blanka lg. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A megoldás alapjául szolgáló észrevétel ugyanaz, mint az 1960. évi Arany Dániel verseny, haladók versenye döntő fordulójának 3. feladatában.¹ Ennek megfelelően az egyenlet a versenyfeladat II. megoldásában alkalmazott helyettesítéssel is megoldható.
2. Vizsgáljuk meg az (1)-ből beszorzással és 0-ra redukálással adódó

\begin{matrix} 36 x^{4} - 168 x^{3} + 289 x^{2} - 217 x + 60 - a = 0 \end{matrix}

egyenletet a 656. feladatban² talált eredmény alapján. Ott azt nyertük, hogy az

x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d

polinom akkor és csak akkor írható

z^{4} + A z^{2} + B

alakban, ha az együtthatókra teljesül

a^{3} - 4 a b + 8 c = 0

; továbbá e feltétel teljesülése esetén a polinomot a második alakba az

x = z - a / 4

helyettesítés viszi át. Esetünkben

a

b

c

helyén rendre

\begin{matrix} - \frac{168}{36} = - \frac{14}{3}, \frac{289}{36}, - \frac{217}{36} \end{matrix}

áll, ezekkel az idézett feltétel teljesül, helyettesítésnek pedig a fent is használt

x = z + 7 / 6

adódik.
Egyszerűbb lett volna a számítás, ha előbb az

x - 1 = w

helyettesítést alkalmazzuk. Evvel a

\begin{matrix} w (2 w - 1) (3 w - 1) (6 w + 1) - a = 36 w^{4} - 24 w^{3} - w^{2} + w - a = 0 \end{matrix}

egyenletre jutottunk volna, kisebb együtthatókkal. Ezt a (2) alak alapján abból lehet sejteni, hogy mind a négy tényezőben az állandó kivonandó értéke 1 körül van.

¹L. a megoldást K. M. L. 22 (1961) 5. o.

²K. M. L. 11 (1955) 57. o.