Kezdőlap


Feladat:	1034. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szarka György
Füzet:	1961/április, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/április: 1034. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) követelmény bal oldala a $P (x, y)$ pont és az $O$ origó $ϱ$ távolságának négyzetét jelenti. Így $ϱ^{2} \leq 25$ , és mivel $ϱ$ nem lehet negatív, $0 \leq ϱ \leq 5$ . Eszerint $P$ csak az $O$ körül 5 egységnyi sugárral írt $k$ kör belsejében és a kerületén lehet.
Tegyük fel egyelőre, hogy $x + y \neq 0$ és $y \neq 0$ , és alakítsuk (2)-t a következőképpen:

\begin{matrix} - 1 \leq \frac{x + y - y}{x + y} = 1 - \frac{y}{x + y} \leq 1, \end{matrix}

majd mindenütt 1-et levonva, azután (

- 1

)-gyel szorozva ‐ ami által az egyenlőtlenségek iránya megfordul ‐

\begin{matrix} 2 \geq \frac{y}{x + y} \geq 0. \end{matrix}

Innen a reciprok értékekre áttérve

\begin{matrix} \frac{x + y}{y} = \frac{x}{y} + 1 \geq \frac{1}{2}, \frac{x}{y} \geq - \frac{1}{2} . \end{matrix}

x / y

hányados annak a szögnek a tangensét jelenti, amelyet az (

x

y

) ponton és az origón át húzott egyenes az

Y

-tengellyel bezár, amennyiben a szöget, ill. a forgást a szokásossal ellentétes irányban mérjük. Legyen

O C

k

-nak az a sugara, amelynek a pozitív forgási irányban mért

Y O C = α

szögére

tg α = 1 / 2

, legyen

k

-nak

C

-vel átellenes pontja

D

, és az

X

-tengelybe eső átmérője

A B

Ekkor a fentiek szerint a kérdéses pontok az

A O C

és

B O D

körcikkek pontjai. Az

O A

és

O B

sugarak pontjaira

y = 0

, amit fent kizártunk; látjuk azonban, hogy ezekre (2) teljesül, mert így

x / (x + y) = 1

. Kivétel mégis az origó, mert ott (2)-nek nincs értelme. Más az

x + y \neq 0

feltétellel kizárt pont nem esik az

A O C

és

B O D

síkrészekbe, mert az

x + y = 0

egyenletet kielégítő pontokra (az origó kivételével)

x / y = - 1 < - 1 / 2

Szarka György (Budapest, Rákóczi F. g. III. o. t.)