Kezdőlap


Feladat:	1032. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hegedűs Jenő , Nagypál Botond , Náray Szabó Gábor
Füzet:	1961/március, 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/április: 1032. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Azt kell megmutatnunk, hogy ha $y - x = z - y$ , akkor ‐ a vizsgálandó kifejezéseket rendre $A$ , $B$ , $C$ -vel jelölve ‐ teljesül a $B - A = C - B$ egyenlőség is. Mármost

\begin{matrix} B - A = (x z + z^{2}) - (x y + y^{2}) = (z^{2} - y^{2}) + x (z - y) = (x + y + x) (z - y), \\ C - B = (y^{2} + y z) - (x^{2} + x z) = (y^{2} - x^{2}) + z (y - x) = (y + x + z) (y - x), \end{matrix}

ezek pedig a feltevésnél fogva valóban egyenlők.

Hegedűs Jenő (Törökszentmiklós, Bercsényi M. g.III. o. t.)

II. megoldás: A feltételből következik, hogy

y

egyenlő az

x

és

z

számok számtani közepével:

\begin{matrix} y = \frac{x + z}{2} . \end{matrix}

(1)

Ehhez hasonlóan azt kell megmutatnunk, hogy a

B

kifejezés egyenlő az

A

és

C

számtani közepével. Képezzük az utóbbit, és küszöböljük ki belőle (1) alapján

y

-t:

\begin{matrix} \frac{A + C}{2} = \frac{x^{2} + z^{2}}{2} + \frac{(x + z) y}{2} + y^{2} = \frac{x^{2} + z^{2}}{2} + \frac{{(x + z)}^{2}}{4} + \frac{{(x + z)}^{2}}{4} = x^{2} + z^{2} + x z . \end{matrix}

Valóban

B

-re jutottunk, tehát az állítás igaz.

Nagypál Botond (Orosháza, Táncsics M. g. III. o. t.)

III. megoldás: Vizsgáljuk meg, hogy

A

B

C

milyen

x

y

z

számhármasok mellett alkothat számtani sorozatot, vagyis mely feltétel mellett állhat fenn

\begin{matrix} A + C - 2 B = 0. \end{matrix}

Az I. megoldásban látott átalakításokkal a bal oldal így írható:

\begin{matrix} (C - B) - (B - A) = (x + y + z) [(y - x) - (z - y)] = (x + y + z) (2 y - x - z) . \end{matrix}

Ez, kétféleképpen válhat 0-vá: ha

x + y + z = 0

, és ha

2 y - x - z = 0

. Feltevésünk folytán az utóbbi eset teljesül, tehát az állítás helyes.

Náray Szabó Gábor (Budapest, József A. g. III. o. t.)