Feladat: 1030. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bácsy Zs. ,  Biborka T. ,  Bollobás B. ,  Bónis Katalin ,  Bornes Klára ,  Csizy L. ,  Durst I. ,  Farkas Z. ,  Fejes L. ,  Frint G. ,  Fritz József ,  Gálfi l. ,  Gazsi L. ,  Gombos Judit ,  Grüner Gy. ,  Györgyi János ,  Homitzky L. ,  Jahn A. ,  Katona Mária ,  Knuth E. ,  Kopornoky Zs. ,  Kovács Margit ,  Lendvai Katalin ,  Marót Ildikó ,  Marton D. ,  Marton Katalin ,  Meleghegyi L. ,  Miklóssy E. ,  Molnár E. ,  Nagy Dezső ,  Nagypál B. ,  Nováky B. ,  Pollai Marion ,  Porpáczy Erzsébet ,  Pribek F. ,  Sólyom I. ,  Szabó Péter ,  Szalay G. ,  Szarka Gy. ,  Szidarovszky Ágnes ,  Szilágyi G. ,  Szilvási I. ,  Szoboszlai L. ,  Torbágyi T. ,  Török Éva ,  Vaday G. ,  Várady Gábor 
Füzet: 1961/február, 60 - 63. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/február: 1030. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Egyszerűsítésül a szíj szélességét és vastagságát nem vesszük figyelembe, vagyis a tárcsák és a szíj által alkotott rendszernek a tengelyekre merőleges síkon levő vetületét tekintjük. A tárcsák vetülete 2r1=80, 2r2=200mm átmérőjű k1 ill. k2 kör, a középpontok O1, O2. A szíj vetülete pedig 4 részből áll: k1 és k2 közös érintőinek az érintési pontok közötti AB és CD szakaszaiból, továbbá a körök egymástól elfordított DA és BC ívéből. Aszerint, hogy a szíj egyenes szakaszai keresztezik egymást vagy nem, az AB és CD szakaszok a belső, ill. külső közös érintőkön vannak.

 
 
1. ábra
 

I. eset: nincs keresztezés. Legyen O1 vetülete O2B-n B0 és O2O1B0=φ (fokban mérve). Ekkor O2B0=r2-r1=60mm és a keresett O1O2=d távolság, valamint az érintőszakaszok hossza az O1O2B0 derékszögű háromszögből (1. ábra)
d=O2B0sinφ,DC=AB=O1B0=O2B0ctg φ.  (1)
A szíjjal fedett DA és BC ívekhez tartozó középponti szög 180-2φ, ill. 180+2φ. Így a szíj ismert h hosszából φ-re a következő egyenletet kapjuk:
DA^+BC^+2AB¯=2r1π180-2φ360+2r2π180+2φ360+2(r2-r1)ctg φ=h,  (2)
ahonnan
ctgφ=h-(r1+r2)π2(r2-r1)-π180φ,
és a számadatok alapján
ctg φ=8,834-0,01745 φ.  (3)
(Előre gondolva arra, hogy négyjegyű táblázatot fogunk használni, π3,142-t vettünk, és a hányadosokból 4 értékes jegyet írtunk ki.) Vegyük észre, hogy (3) jobb oldalának 2-ik tagja éppen a φ szög ívmértéke, tehát ez a tag számítás nélkül ugyancsak közvetlenül kivehető a függvénytáblázatból.
(3)-at csak közelítőleg oldhatjuk meg, mert φ együtt lép fel egy trigonometrikus függvényével. Tekintettel arra, hogy φ együtthatója az állandó tagnak mintegy 500-ad része, első közelítésül vehetjük azt a φ1 szöget, amelyre
ctg φ1  = 8,834,  azaz φ1   6,46.  


A jobb oldal így elhanyagolt tagja negatív, tehát ctg φ kisebb ctg φ1-nél, és ezért φ nagyobb φ1-nél. A 2-ik tag értéke φ1 mellett -0,113. A kotangens függvény ekkora változása φ1 környezetében kb. 0,1-kal növeli a szöget, ezért 2-ik és 3-ik közelítő értéknek φ2=6,5, ill. φ3=6,6-ot véve (3) bal és jobb oldalának értéke
φ2-vel: 8,777 és 8,721, ill. φ3-mal: 8,643 és 8,719,
vagyis a bal oldal 0,056 többletet, ill. 0,076 hiányt mutat. Ezek szerint (3) gyöke φ2 és φ3 között van, valamivel közelebb φ2-höz. φ4=6,54 mellett (3) két oldalának eltérése már csak 8,723-8,720=0,003. Viszont φ5=6,55 és φ6=6,53 mellett a jobb oldal ismét 8,720, a bal oldal pedig 8,710, ill. 8,737 vagyis az eltérés nagyobb és ellentétes irányú.
További ‐ a fok ezredrészének meghatározását célzó finomítás táblázatunk alapján nem lehetséges, mert az ehhez szükséges lineáris interpoláció a kotangens-táblázat használt szakaszán a szokásosnál nagyobb hibával járna. Ugyanis 6 sorában a 0,1-onkénti csökkenések rendre:
0,157,0,152,0,147,0,143,0,138,0,134,0,130,0,127,0,122,0,120,
elég gyorsan változnak ‐ a sor elejétől a végéig mintegy 20%-kal ‐, ennélfogva a kotangens függvény grafikonja itt erősen görbül. A közbülső értékek pontosabb megállapítására viszont a lineáris interpolációnál pontosabb eljárást nem ismerünk. Eszerint (3) gyöke gyanánt a φ=φ4=6,54 értéket kell elfogadnunk.
Most már (1) alapján φ4-gyel d=527mm. És mivel φ5 és φ6-tal d-re 526, ill. 528  mm adódnék, vagyis csak 1  mm-rel eltérő érték, azért eredményünk megfelel a kívánt pontosságnak.
 
 
2. ábra
 

II. eset. Ha a szíj egyenes szakaszai keresztezik egymást, akkor a fenti O2B0 értéke r2+r1=140mm, továbbá (1) érvényes marad (2. ábra). A szíjjal fedett DA és BC ívek mindegyikéhez, φ helyett ψ jelöléssel, 180+2ψ, középponti szög tartozik, (2) helyére a
2(r1+r2)(π180+2ψ360+ctg ψ)=h(2')
egyenlet, (3) helyére pedig a
ctg ψ=3,786-0,01745ψ   (3')
egyenlet lép. Innen a fentiekhez hasonlóan
ctg ψ1=3,786, ψ114,8,
és a keresett ψ érték ismét nagyobb ψ1-nél.
(3') elhanyagolt tagja ψ1 mellett -0,258. A kotangens függvény ekkora változása ψ1, környezetében kb. 1 növekedésre áll be, legyen ezért ψ2=15,8. Ekkor (3') két oldala 3,534, ill. 3,510. A bal oldal 0,024-nyi többletét a szög újabb 0,1-kal való növelésével majdnem eltüntethetjük:
ψ3=15,9mellett 3,511 - 3,508 = 0,003 többlet,
   ψ4  =  16,0 
mellett  pedig  
3,507-3,487=0,020  hiány

mutatkozik. Ezekből 0,01-nyi finomítással ψ15,91 adódik, evvel pedig a szíjtárcsák tengelyeinek távolsága (1) alapján d=510mm.
 

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn. III. o. t.)
 

Megjegyzés. Több versenyző (3) és (3')-t ‐ vagy helyette a φ, ill. ψ-nek α, β pótszögére vonatkozó egyenletet ‐ a következő ugyancsak helyes alakokban írta:
-φ+ctg φ= 8,834, -ψ+ctg ψ=3,786,
  -α+c
tg α=7,264, -β+ctg β=2,216,  

ahol a szögek ívmértékben értendők. Fent amiatt maradtunk meg a fok egységben való számolás mellett, mert a trigonometriai táblázat kezelése így egyszerűbb.
Mivel a szíj körív és egyenes részekre oszlik, eleve látható, hogy a kérdésre csak valamiféle próbálgató eljárás alapján válaszolhatunk. Erre utal a feladat kitűzésében a pontosság megszabása is. ‐ A próbálgatást a következő megoldás a szíjrészek keresztezés nélküli illesztése esetére egyenlet felállítása nélkül végzi.
 

II. megoldás: Tekintsük köreinknek az O1O2 centrálisra merőleges E1F1, E2F2 átmérőit ( O1E1 és O2E2 egyirányú sugarak), és legyen E1 vetülete O2E2-re E' (1. ábra). A szíj hosszát a körök egymástól elfordult E1F1 és F2E2 félkörívei és az F1F2, E2E1 szakaszok összegével helyettesítve hibát követünk el. Ez azonban nem lehet nagy, mert így az ívrészek összegét a kelleténél kisebbre, az egyenes részeket pedig nagyobbra vettük. Valóban, r2>r1 és az E1O1A, E2O2B szögek egyenlősége folytán a görbe rész feléből mellőzött E2B ív nagyobb a beiktatott E1A ívnél, viszont az E1E2 szakasz nagyobb AB-nél, mert E1E2 merőleges vetülete egy egyenesre (tehát nem nagyobb nála) az O1O2 szakasz, viszont AB az O1O2 merőleges vetülete, és így az előbbi a kisebb.
Ezek szerint a szíj félhosszából a két negyedkörív összegét levonva közelítő értéket kapunk E1E2-re, ebből pedig E'E2=60mm figyelembevételével az E1E2E' derékszögű háromszög alapján E1E'=O1O2-re. π3,142-del E1E2   530,1 mm és O1O2526,7mm. Igyekezzünk most már úgy választ adni a kérdésre, hogy addig változtatjuk a két középpont távolságát, amíg az ebből kiszámítható szíjhosszúság egyenlő lesz az adott hosszúsággal.
O1O2-t 526,5mm-nek véve ‐ amely hossz éppen a határán van az 526 és 527mm-re kerekítendő értékeknek ‐ és mindenütt 4 értékes jegyre számítva egyrészt Pythagorász tétele alapján AB=523,1mm. Másrészt ‐ a körök külső hasonlósági pontját S-sel jelölve (ezt az 1. ábrán mellőztük) ‐ SO2:O1O2=r2:(r2-r1) alapján SO2=877,5, és így az SO5B derékszögű háromszögből az E2O2B-vel egyenlő O2SB szög 6,54, tehát a kisebb DA és a nagyobb BC ív középponti szöge 166,9, ill. 193,1, hosszuk 116,5 ill. 337,0mm. Ezek szerint így 116,5+337,0+2523,1=1499,7mm hosszú szíjra lenne szükség, ennélfogva O1O2-t igen kis mértékben nagyobbra kell vennünk.
Nyilvánvaló, hogy ha O1O2-t 1mm-rel nagyobbra, 527,5mm-nek vennénk ‐ amely érték mm pontossággal már 528mm-t is adhat ‐, akkor a szíj hossza kb. 2mm-rel adódnék hosszabbnak; vagyis 1501,7mm körüli értéknek. Mivel pedig ez több a kívántnál, azért a középpontok távolsága mm pontossággal 527mm. (A becslést hasonló számítás igazolja.)
 

Györgyi János (Budapest, Kölcsey F. Gimn. IV. o. t.)
 

Marton Katalin (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn. IV. o. t.)