Feladat: 1028. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bencsik I. ,  Biborka T. ,  Bollobás B. ,  Farkas Z. ,  Fejes L. ,  Frint G. ,  Fritz J. ,  Gazsi L. ,  Grüner Gy. ,  Hajna J. ,  Knuth E. ,  Kóta G. ,  Krámli A. ,  Marton D. ,  Máté A. ,  Máté Zs. ,  Pinkert A. ,  Székely J. ,  Szőts Miklós ,  Várady G. 
Füzet: 1961/február, 56 - 57. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/február: 1028. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Értelmezzük az összegtartományokat lefedéssel. Gondoljuk elkészítve a C szakaszt végtelen sok példányban, és helyezzük el ezeket A-ra úgy, hogy A minden pontjára essék egy ilyen szakasz R pontja. Így az A+C=Q1 összegtartományt a C szakaszokkal lefedett PQQ1P1 négyzet állítja elénk, vagyis a PQ szakasz mint oldal fölé befelé írt négyzet, ugyanis nyilvánvaló, hogy a PQ és QQ1 szakaszok merőlegesek és egyenlők. De minden olyan négyzet megadja az A+C összeget, melyben az oldalak hossza PQ=a, és amelynek egy oldala az X-tengely pozitív irányával 22,5=π/8 szöget zár be.
Hasonlóan a B+D=Q2 összegtartományt eltolás erejéig megadja a QR oldal fölé befelé írt QRR2Q2 négyzet, oldalának hossza a, és egy oldala az X-tengelyhez 67,5=3π/8 szöggel hajlik.

 
 

Az A+B+C=H összeg nyilván egyenlő (A+C)+B=Q1+B-vel. Így B-ből Q pontjuknál fogva Q1 minden pontjára egy példányt helyezve összegként eltolás erejéig a PQRSS3P1 hatszöget kapjuk, ahol S3 az RS oldal fölé befelé írt RSS3R3 négyzet csúcsa. H egyenlő oldalú, két egymásra merőleges szimmetria-tengellyel bíró hatszög ‐ tengelyei a PS egyenes, továbbá a QR szakasz felező merőlegese ‐, így a két tengely felezőpontjára középpontosan is szimmetrikus és P-nél levő szöge derékszög.
Hasonlóan látható be, hogy az A+B+C+D=H+D összeg N-nel egyenlő. Ez a megállapítás az összeg A+B+C+D=(A+C)+(B+D)=Q1+Q2 alakjára tekintettel azt jelenti, hogy az a oldalú N-et két a oldalú, egymáshoz képest 45-kal elfordult négyzettartomány összegeként is megkaphatjuk.
 

Szőts Miklós (Budapest, Corvin M. Gimn. III. o. t.)