Kezdőlap


Feladat:	1027. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Butor László , Farkas Henrik , Szegö Károly
Füzet:	1960/december, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Műveletek polinomokkal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/február: 1027. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$x_{1}$ és $x_{2}$ kielégítik az adott egyenletet, ebből két elsőfokú egyenletet kapunk az ismeretlen $A$ , $B$ együtthatókra. $x_{1}$ -gyel

\begin{matrix} 1, 4641 + 1, 331 A + 35, 3925 - 44, 308 + B = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 1, 331 A + B = 7, 4514; \end{matrix}

hasonlóan

x_{2}

-vel

\begin{matrix} 13, 824 A + B = - 104, 9856. \end{matrix}

E rendszerből

A = - 9

B = 19, 4304

és (1) így alakul:

\begin{matrix} x^{4} - 9 x^{3} + 29, 25 x^{2} - 40, 28 x + 19, 4304 = 0. \end{matrix}

(2)

Másrészt (2) bal oldala osztható az

x - x_{1} = x - 1, 1

és

x - x_{2} = x - 2, 4

gyöktényezőkkel, tehát szorzatukkal

x^{2} - 3, 5 x + 2, 64

-dal is, mert e gyöktényezőknek nincs közös osztója. Az osztási hányados az a polinom lesz, amelynek értéke a további gyökök mellett

0

. Ebből kapunk egyenletet a további gyökökre. Már most az ismert eljárással

\begin{matrix} (x^{4} & - 9 x^{3} & + 29, 25 x^{2} & - 40, 28 x & + 19, 4304) & : (x^{2} - 3, 5 x + 2, 64) & = \\ - x^{4} & \mp 3, 5 x^{3} & \pm 2, 64 x^{2} & = x^{2} - 5, 5 x + 7, 36 \\ - 5, 5 x^{3} & + 26, 61 x^{2} \\ \mp 5, 5 x^{3} & \pm 19, 25 x^{2} & \mp 14, 52 x \\ 7, 36 x^{2} & - 25, 76 x \\ - 7, 36 x^{2} & \mp 25, 76 x & \pm 19, 4304 \\ 0 \end{matrix}

és az így adódó

\begin{matrix} x^{2} - 5, 5 x + 7, 36 = 0 \end{matrix}

(3)

egyenletből

x_{3} = 2, 3

x_{4} = 3, 2

Szegő Károly (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az osztási eljárás helyett egyszerűbben jutunk el (3)-hoz, ha a negyedfokú egyenlet gyöktényezős alakjában

x^{4}

együtthatóját

1

-nek vesszük, a zárójeleket felbontjuk:

\begin{matrix} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) = x^{4} - (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) x^{3} + \\ + (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4}) x^{2} - (x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} + \\ + x_{1} x_{3} x_{4} + x_{2} x_{3} x_{4}) x + x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = 0, \end{matrix}

és figyelembe vesszük, hogy ekkor

x^{3}

együtthatója a gyökök összegének

(- 1)

-szerese, az

x

-től mentes tag pedig a gyökök szorzata. Eszerint

\begin{matrix} 1, 1 + 2, 4 + x_{3} + x_{4} = 9 és 1, 1 \cdot 2, 4 x_{3} x_{4} = 19, 4304, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} x_{3} + x_{4} = 5, 5 és x_{3} x_{4} = 7, 36, \end{matrix}

ezekből pedig felírható (3).

Farkas Henrik (Eger, Dobó I. g. IV. o. t.)

2. Lényegében ismét a gyöktényezős alak felhasználásával megoldhatjuk (1)-et

A

és

B

értékének kiszámítása nélkül is. Jelöljük (1) bal oldalát

F (x)

-szel, azt a másodfokú polinomot, amely az ismert

x_{1}

és

x_{2}

helyeken veszi fel a

0

értéket,

G (x)

-szel, vagyis

\begin{matrix} G (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) = (x - 1, 1) (x - 2, 4) = x^{2} - 3, 5 x + 2, 64, \end{matrix}

az a másodfokú polinom pedig, amelynek két

0

-helye a hátralevő két gyök, legyen a következő:

\begin{matrix} H (x) = x^{2} - s x + p . \end{matrix}

Ekkor a

G (x)

H (x)

szorzat azonos

F (x)

-szel. Már most

\begin{matrix} G (x) \cdot H (x) \equiv (x^{2} - 3, 5 x + 2, 64) (x^{2} - s x + p) = x^{4} - (3, 5 + s) x^{3} + \\ + (p + 3, 5 s + 2, 64) x^{2} - (3, 5 p + 2, 64 s) x + 2, 64 p . \end{matrix}

Az azonosságból következik, hogy

x

ugyanazon kitevős hatványainak a bal és a jobb oldalon fellépő együtthatói egyenlők. Így

x^{2}

és

x

együtthatóiból

\begin{matrix} \begin{matrix} p + 3, 5 s + 2, 64 & = 29, 25 \\ 3, 5 p + 2, 64 s & = 40, 28, \end{matrix} \end{matrix}

elsőfokú egyenletrendszert kapunk

H (x)

ismeretlen együtthatóira. Innen

p = 7, 36

s = 5, 5

, ami szerint

H (x)

azonos (3) bal oldalával.

Butor László (Budapest, I. István g. III. o. t.)