Kezdőlap


Feladat:	1026. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gombás Judit
Füzet:	1961/január, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/február: 1026. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megoldást csak az $x \geq 2$ értékek között kereshetjük, különben a belső gyökök nem valósak. A két külső gyökjel alatti kifejezés így írható:

\begin{matrix} x + 2 + 4 \sqrt[]{x - 2} = (x - 2) + 4 \sqrt[]{x - 2} + 4 = {(\sqrt[]{x - 2} + 2)}^{2}, \\ x + 7 - 6 \sqrt[]{x - 2} = (x - 2) - 6 \sqrt[]{x - 2} + 9 = {(\sqrt[]{x - 2} - 3)}^{2}, \end{matrix}

ennélfogva a bal oldal két tagja

| \sqrt[]{x - 2} + 2 |

és

| \sqrt[]{x - 2} - 3 |

. Az előbbi kifejezés egyenlő

\sqrt[]{x - 2} + 2

-vel, mert ez pozitív, ugyanis

\sqrt[]{x - 2}

nem lehet negatív. Ezzel szemben

\sqrt[]{x - 2} - 3

-ra annak előjele szerint két esetet kell tekintenünk.
a) Ha

\sqrt[]{x - 2} - 3 \leq 0

, vagyis

x - 2 \leq 3^{2}

x \leq 11

, akkor (1) így alakul:

\begin{matrix} (\sqrt[]{x - 2} + 2) + (3 - \sqrt[]{x - 2}) = 5, \end{matrix}

eszerint (1) minden szóbajövő

x

-re, vagyis

2 \leq x \leq 11

-re teljesül.
Ha pedig

\sqrt[]{x - 2} - 3 > 0

, vagyis

x - 2 > 3^{2}

x > 11

, akkor

\begin{matrix} (\sqrt[]{x - 2} + 2) + (\sqrt[]{x - 2} - 3) = 5, \end{matrix}

és innen

\sqrt[]{x - 2} = 3

x = 11

ez ellentmond

x > 11

-nek, tehát ilyen megoldás nincs.
Összefoglalva: az adott egyenletet a

2

és

11

közé eső számok és csak ezek elégítik ki, mindkét határt megengedve. Azt is mondhatjuk, hogy (1) a

2 \leq x \leq

\leq 11

intervallumban azonosság.

Gombás Judit (Budapest, Ságvári E. Gyak. Ig. III. o. t.)