Feladat: 1024. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Biborka T. ,  Bollobás B. ,  Farkas H. ,  Frint G. ,  Fritz J. ,  Gáti P. ,  Gazsi L. ,  Grüner Gy. ,  Homitzky L. ,  Katona Mária ,  Knuth E. ,  Kóta G. ,  Kóta J. ,  Miklóssy Endre ,  Molnár E. ,  Nováky B. ,  Székely J. ,  Várady G. 
Füzet: 1960/december, 216 - 218. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1960/február: 1024. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az anyakönyvvezetői (tovább rövidítve: A) tisztségre szóba jövő jelenlevők száma más-más aszerint, hogy a J jegyespárba beválasztottak-e olyan valakit, aki testvérével együtt vesz részt a játékban, ‐ vagy nem. Ha igen, akkor az is figyelembe veendő, hogy mindkét jegyes ilyen-e, vagy csak egyikük. A K koszorús párok lehetőségeinek számát befolyásolja, hogy A-nak leányt választottak-e vagy fiút. Mindezen szempontok miatt az egész násznép összeállítási lehetőségeinek számát több alesetre való felbontással állapítjuk meg.
Nevezzük F, L, ill. B, H-típusúnak a testvér nélkül fiúkat, leányokat, illetőleg a testvérrel együtt résztvevő bátyákat, húgokat. Ekkor J típusa 4-féle lehet:
FL   MMMFHMMM   MMMBLMMM   BH,és az ilyen lehetőségek száma rendre(7-3)(5-3)=42   43   32   3(3-1)=32,  MnM(1)
mert a típusokba rendre 4, 2, 3, 3 személy tartozik, továbbá a BH típusú párban mindegyik B-hez egy H nem vehető figyelembe.
Egy a szabálynak megfelelő A-ról a továbbiak számára elég azt tudnunk, hogy fiú-e vagy leány, röviden: f vagy l-típusú. Erre figyelve a J-A együttesre 42=8 típus lehetséges. f és l-ből a fenti típusokban rendre
6+4   5+4   6+3   5+3személy jön szóba, ezért a 8 típusban a lehetőségek száma:FLf:426,MMFHf:435,MMBLf:326,MMBHf:325;MMM(2)FLl:424,FHl:434,BLl:323,BHl:323.M(3)

A (2) alatti négy típus lehetőségeinek együttes száma 48+60+36+30=174. Minden ilyen esetben a további szereplőket 5 fiúból és 4 leányból választják. Az első K-ra 54, a másodikra a maradékból (5-1)(4-1)=43 lehetőség van, a kettőre pedig ezek szorzatának fele: 5443/2=120. Ugyanis bármely két határozott K-t két sorrendben lehet megválasztani, de ezt a két lehetőséget nem tekintjük különbözőnek. Eszerint az első 7 személy megválasztására fiú-A mellett 174120=20880 lehetőség adódott.
Hasonlóan a (3) típusokban 32+48+18+18=116 lehetőség folytatása egyezik meg. 6 fiúból és 3 leányból a fentiekhez hasonlóan 6352/2=90 féleképpen képezhető a két K, tehát leány-A mellett 11690=10440 lehetőség van az első 7 személy megválasztására.
A tanúk megválasztására semmi kizáró szempont nincs, az eddig talált 20880+10440=31320 lehetőség egyformán fejeződik be: a fennmaradt öt személyből kettő 54/2=10 féleképpen vehető ki. Így az egész násznép összeállítási lehetőségeinek száma N=313200.
A választási sorrend a lehetőségek számát nem befolyásolja, mert a kizárási szempontok között a sorrend nem szerepel. Minden fokon minden megengedett lehetőséget figyelembe vettünk és minden kizárt lehetőséget mellőztünk. Az új választási sorrend mellett ugyanezen lehetőségek számát más csoportosításban állapítanánk meg.

 

Miklóssy Endre (Szolnok, Verseghy F. g. IV. o. t.)

 

Megjegyzések. I. Az (1), (2) és (3) alatti számok összegéhez rövidebben jutunk el, ha nem képezünk típusokat, de az így meg nem engedhetően figyelembe vett lehetőségek számát kivonjuk.
Az 5 leányból és 7 fiúból 57=35 párt alakíthatunk, ezekből a 3 testvérpár nem felel meg J-nek, tehát a szabályosan alkotott J-k száma 35-3=32. (Ez az (1) összeg.)
A visszamaradó 4 leánnyal 432=128 lehetőség ígérkezik a J és leány-A megválasztására. De így mindegyik H-A előtt a bátyja is szerepelne vőlegényként, éspedig 4-féleképpen, a további 4 leánnyal. Emiatt 34=12 eset törlendő, a szabálynak 128-12=116 összeállítás felel meg. (Ez a (3) összeg.)
Hasonlóan a J kiválasztása után A-ként szóba jövő 6 fiúval gondolható 632=192 összeállításból nem felel meg 36=18, mert a három B egyike sem lehet A-ja a húgából és sorra a további 6 fiúból alakított 6J-nak. Marad 192-18=174 lehetőség. (Ez a (2) összeg.)
 

Katona Mária (Budapest, Szilágyi E. lg. II. o. t.)

 

2. Ha előre állapítjuk meg, hogy A megválasztásának sorrendje nem lényeges, akkor e választás figyelembe vételét a számításnak erre a célra legkedvezőbb helyére iktathatjuk be. Mivel A-t csak J megválasztása korlátozza, azért célszerű a J, A sorrend. A-t utolsónak véve több alesetet kellene figyelembe vennünk aszerint, hogy J valamelyik vagy mindkét tagjának testvérét beválasztották-e időközben egy koszorús párba, ill. tanúnak, vagy nem.