|
Feladat: |
1023. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Biborka T. , Bollobás B. , Csikor F. , Farkas Z. , Fekete J. , Frint G. , Fritz J. , Gáti P. , Gazsi Lajos , Grüner Gy. , Györgyi János , Holop A. , Homitzky L. , Horváth S. , Kardeván P. , Kiss A. , Klimó J. , Knuth E. , Kóta G. , Krámli A. , Molnár E. , Nováky A. , Nováky B. , Páska Cs. , Pinkert A. , Pósch Margit , Szegő K. , Tihanyi A. , Várady G. |
Füzet: |
1960/december,
215 - 216. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Pont körüli forgatás, Köréírt alakzatok, Négyzetek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/január: 1023. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az hatszög csúcsai a feltételben szereplő szakaszpárok végpontjai között kétféle szerepet játszanak: , és 3-szor lép fel, , , és viszont -szer. A -ik szakaszpár úgy áll elő az elsőből, és a -ik a -ikból, hogy minden végpont helyére a körüljárása mentén rákövetkező második pontot írjuk; ezért egyrészt , , másrészt , , egymás között egyenrangúak. Ez az észrevétel bizonyításunkban rövidítéseket tesz lehetővé.
Megmutatjuk, hogy -nak , , -ben levő szöge derékszög. Ezt elég pl. -ra bebizonyítani. Az és háromszögek egybevágók (azok a csúcsok felelnek meg egymásnak, amelyeknek a felsorolásbeli sorszáma egyenlő). Ugyanis az -ben, ill. -ben összefutó oldalaik a feltevés szerint páronként egyenlők, és a köztük levő szög is mindkettőben ugyanakkora, mert merőleges szárú hegyes szögek. Valóban, mindkét szög kisebb derékszögnél, mert az és , az és , a és átlópárok , ill. , ill. metszéspontja konvexsége folytán benne van -ban, ezért az szög azonos az szöggel, és az szög az szöggel, az utóbbi szögek pedig az , derékszögű háromszögnek a derékszögtől különböző szögei. Ebből következik, hogy és körüljárása megegyező, egymással a síkjukban végzett mozgatással hozhatók fedésbe. És mivel a feltételben szereplő oldalpárjaik egymásba -os forgatással átvihetők, azért ugyanez áll harmadik oldalaikra, és -ra is. Másképpen: az háromszög -nál derékszögű és egyenlő szárú. (Könnyű belátni, hogy a forgatás középpontja a szakasz felezőpontja.) Ugyanígy a és is egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Ezért a , , -nél levő szögek mindegyike tompaszög, mert -kal nagyobb a háromszög megfelelő szögénél, másrészt konvexsége folytán (valóságos hatszögben) kisebb -nál. Az szög és rész szögei azonban hegyes szögek, mert az , és derékszögű háromszögekben a derékszög -nél van. Ugyanez áll a és -nél levő szögek , ill. két oldalán levő részeire. Az , , csúcsok minden támasz téglalapjának kerületi pontjai, mert ha pl. a derékszög csúcsán át párhuzamosokat húzunk oldalaival, akkor vagy egyikük kettévágja a szögtartományt, és így a rá merőleges egyenes támaszegyenese -nak, vagy egybeesnek és -fel, és így a -nak csúcsa. Ekkor és is kerületén van. ‐ Másrészt a , , csúcsok közül legalább egy kerületén van, mert ha , , mindegyikében a támasz egyenes különböző oldalaitól, ezek -nak csak három oldalát adják meg. ‐ Viszont , , közül legfeljebb kettő lehet a kerületen és nyilvánvaló, hogy ilyenkor a -nak köztük levő csúcsa egyben -nak is csúcsa. ‐ , , mindegyike csak akkor lehetne kerületén, ha egyikükben -nak -os szöge volna. Az eddigiek szerint elég azon támasz téglalapjairól megmutatnunk, hogy származtató támasz sávjaik szélessége egyenlő, amelyek kerületén legalább a , , és csúcsok rajta vannak. körüljárásából nyilvánvaló, hogy e téglalapokban és , valamint és egy-egy szemben fekvő oldalpáron vannak. Ha már most két oldala merőleges -re, akkor a másik kettő merőleges -re, így a -t meghatározó két támaszsáv szélessége , ill. , és ezek egyenlősége folytán négyzet. Ha pedig -nek, -nek a -beli , ill. az -beli támaszegyenesen levő , ill. vetülete -től, -tól különböző, akkor a sávok szélessége , ill. , és ezek egyenlők, mert a és egybevágó derékszögű háromszögeknek megfelelő befogói (ezekben az átfogók és az -nél, -nél levő merőleges szárú hegyesszögek egyenlők). Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Györgyi János (Budapest, Kölcsey F. g. IV. o. t.) | Megjegyzés. Az , és háromszögek derékszögű egyenlő szárú volta a 957. feladat II. megoldásához fűzött megjegyzés tételéből is következik, ugyanis a feltevések folytán , , az háromszögből úgy származtathatók, hogy a magasság vonalakra a csúcsoktól a szemben fekvő oldal felé felmérjük a szemben levő oldal hosszát.
Gazsi Lajos (Kaposvár, Táncsics M. g. IV. o. t.) |
|
|