A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A négytagú számtani sorozat két szélső és két közbülső tagjának összege egyenlő: eszerint négyszögünk húrnégyszög. Legyenek másrészt az átlókkal kettévágott szögek részei rendre , , , , , , , .
Így, mivel háromtagú számtani sorozat összege egyenlő a középső tag háromszorosával, az háromszögből . A négyszög körbe írható volta és az átlók merőlegessége folytán , , továbbá . Ezért a négytagú sorozat különbsége , tehát (1)-re és a négyszög szögeinek összegére tekintettel -ból , , , , továbbá , . Ezek szerint az háromszög egyenlő szárú, . Most már a szinusz-tétel ismételt alkalmazásával a további oldalak és átló
és végül az átlók merőlegessége folytán szorzatuk feléből a négyszög területe területegység.
Máté Zsolt (Szeged, Radnóti M. g. IV. o. t.) | Megjegyzések. 1. Ha a szinusz függvény összeadási (addíciós) tétele alapján ismertnek tekintjük a
értékeket, akkor eredményeinket a táblázat, vagyis tizedes alakú közelítő törtek használata nélkül, pontos, ,,zárt'' alakban is felírhatjuk:
Fejes László (Makó, József A. g. IV. o. t.) |
2. Ezekhez az eredményekhez trigonometriai ismeretek nélkül, csupán a Püthagorász-tétel ismételt alkalmazásával és némi ügyeskedéssel is eljuthatunk. Az átlók metszéspontját -mel jelölve az derékszögű háromszögből , . Így , és egyrészt a derékszögű háromszögből | | másrészt -ből és , ennélfogva . Végül -ből | |
Várady Gábor (Győr, Révai M. g. IV. o. t.) | 3. Az előző megjegyzésnek az háromszögre vonatkozó gondolatát bármely hegyes szögre alkalmazva az értékes, de kevésbé ismert összefüggéshez jutunk; ugyanis , , , továbbá és így .
4. Néhány dolgozat az háromszög -os szögét , vagy -hez téve az , , ill. , esetet is kidolgozta -ik, ill. -ik megoldásként. A szövegben azonban nem az áll, hogy az háromszög szögei valamilyen sorrendben alkotnak számtani sorozatot, hanem hogy ez az egymás utáni szögekre, vagyis az , , csúcsú szögre áll.
|