|
Feladat: |
1018. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bácsy Zs. , Bencsik I. , Biborka T. , Bollobás B. , Durst I. , Dömötör Gy. , Farkas Z. , Fejes L. , Fekete J. , Frint G. , Fritz J. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi l. , Gazsi L. , Grüner Gy. , Hahn J. , Hajna J. , Hanyi Zs. , Hegedűs I. , Holop A. , Homitzky L. , Jahn A. , Kardeván P. , Kiss A. , Klimó J. , Knuth E. , Krámli A. , Máté A. , Meleghegyi L. , Miklóssy E. , Molnár E. , Nováky Antal , Nováky B. , Pósch Margit , Szegő K. , Székely J. , Szidarovszky Ágnes , Szoboszlai L. , Tihanyi A. , Várady G. |
Füzet: |
1960/november,
129 - 132. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenletek, Numerikus és grafikus módszerek, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/január: 1018. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az alkotórészek szokásos jelöléseivel a háromszög és a körcikk területe | | ahol -ben abszolút mértékben (radiánban) értendő. Így a követelményből ekvivalens átalakításokkal (ugyanis és egyike sem 0) I. Az I. feltételben említett derékszög megválasztására két különböző lehetőség van: vagy , vagy és közül az egyik, nem lényeges, hogy melyik. 1. ábra 1. eset. esetén és pótszögek, ezért , tehát (1) így alakul: | | (A második megoldás ennek pótszöge, ugyanarra a háromszög alakra vezet.) A háromszög szögei: 2. eset. esetén és pótszögek, , ezek alapján (1) így alakul: Ennek az egyenletnek keressük hegyesszög megoldását. E célból ábrázoljuk a intervallumban az és fügvényeket (2. ábra). 2. ábra Mindkettő grafikonja az origóból indul, az első meredekebben, mint a második. Az első vonal -os egyenes, a második egyre erősebben növekszik és közelében felvesz tetszőleges nagy értéket. Így a két vonalnak egy metszéspontja, tehát a (2) egyenletnek egy a feladatnak megfelelő megoldása van. Ezt a megoldást rendszeres próbálgatással határozzuk meg közelítőleg. A grafikon szerint körüli abszcisszánál van a két vonal metszéspontja, ezt vesszük első közelítő értéknek. A | | vagyis (2) jobb oldala nagyobb. Így a grafikonok figyelembevételével (2) gyöke -nál kisebb lesz. Újabb közelítésül -kal kisebb szöget választva | | tehát ennél nagyobb értéket kell keresnünk. A ,,Függvénytáblázatok'' szerint a és között majdnem egyenletesen növekszik, ugyanis változása -onkint | | és Így grafikonjának e rövid szakasza alig tér el az egyenestől, ennek alapján a harmadik közelítő értéket kereshetjük a lineáris interpoláció visszafordításával, annál is inkább, mert percnyi pontosságra törekedve értékét is interpolációval kell képeznünk. Tekintsük (2) átrendezett alakja jobb és bal oldalának különbségét. esetében . Hasonlóan . Eszerint míg a szög -től -ig, vagyis -et nő, addig növekedése . Mi azt keressük, mekkora értékkel növeljük -t, hogy legyen, vagyis -hez képest -del növekedjék. Eszerint | | Valóban a értékkel . Eszerint ezen háromszög szögei: | |
II. A háromszög két szögének a II. követelményben szereplő egyenlősége ugyancsak kétféleképpen lehetséges: a kiemelt szerepet játszó különbözik a másik két szögtől, tehát , ill. egyikkel egyenlő, pl. . 1. eset. esetén , ezért (1) így alakítható | | Ez a ismeretlenre a (2)-vel azonos egyenlet, tehát megoldása , és így a szögek: | | (A fenti két egyenlet megfelelése az 1. ábra szemléletéből is nyilvánvaló, mert, ilyenkor két egybevágó, -nél derékszögű háromszögre vágja -t, és így mindkettőben teljesülnie kell az I. 2. eset követelményeinek.) 2. eset. folytán , tehát (1)-ből figyelembevételével majd jelöléssel | | (4) | Itt tehát első közelítő értéket ismét két jól ismert grafikon: és metszéséből kereshetünk. hegyesszög, tehát számára a intervallum jön szóba, számára viszont elég, ha , mert (4) bal oldala nem nagyobb 1-nél. 3. ábra A 3. ábra szerint két metszéspont van: és körül. Ezeket a fentihez hasonlóan ,,kifinomítva'' a megfelelő háromszögek szögei -ből, ill. -ből:
III. A háromszög területét kétféleképpen felező vonalak hosszának összehasonlításához fejezzük ki -et -vel és -vel, -t pedig az sugárral és az ívvel: és így Legyen másrészt az háromszög területét felező, az -vel párhuzamos szakasz . Így az háromszög hasonló -höz. Területét -vel jelölve a követelmény, illetőleg ismert tétel szerint | | ennélfogva . Ezt (5)-tel összehasonlítva: , vagyis a területet felező, -vel párhuzamos szakasz minden adódott háromszögben hosszabb az ívnél, elég jelentősen: annak több mint -ával.
Nováky Antal (Budapest, I. István g. IV. o. t.) | Megjegyzés. Legutóbbi megállapításunk természetesen csak az olyan háromszögekre érvényes, amelyekben a területfelező ív középpontja az egyik csúcs, és az ív érinti a szemben fekvő oldalt.
|
|