A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Az adott képezési szabállyal a sorozat első 7 tagja: Tekintsük a szomszédos tagok különbségeiből álló sorozat így kiszámítható tagjait: | | Ezek mértani sorozatot alkotnak, bármelyik (eddigi) két szomszédos különbség hányadosa 2. Ez bármely két szomszédos különbségre igaz, ugyanis | | és így . Fejezzük ki -t a -k segítségével, ebből már remélhető a kívánt jellegű előállítás
Így a -k talált kifejezését beírva (és az összeadandók sorrendjét megfordítva) | | vagyis Vegyük észre, hogy e kifejezés -ra és -re is érvényes. Most már az első tag összege:
Az , és közti összefüggés előállítása céljára (3)-ból, valamint (2)-ből -nel
Eszerint
Ezeket az adott összefüggésbe helyettesítve
Bach Katalin (Szeged, Rózsa F. g. III. o. t.) | Megjegyzések. 1. Ha már sejtjük a összefüggést, ez teljes indukcióval is bizonyítható: -re érvényes az összefüggés, és ha , és olyan számok, amelyekre , , akkor is ilyen, mert | |
Hasonlóan lehet bizonyítani ‐ ha már észrevettük ‐ az (4) összefüggést.
Miklóssy Endre (Szolnok, Verseghy F. g. IV. o. t.) | 2. A (4) összefüggést a következő meggondolással is megkaphatjuk. A (3) jobb oldalán álló , tagokat ki kell fejeznünk , -vel. Evégett a (3)-ból helyén és -vel adódó egyenlőségeket: | | alakban írva mint az és ,,ismeretlenekre'' fennálló egyenletrendszert megoldjuk: | | és a kapott kifejezéseket -be behelyettesítjük. 3. A (4) összefüggés meglepően hasonlít a sorozat képezési utasítására. Ezt a (2) és (3) ,,zárt alakokkal'' végzett számítás nélkül úgy is beláthatjuk, ha a
egyenlőségeket oszloponként összeadjuk. 4. A dolgozatok nagy része gépies munkával -nel azt az összeget jelölte, melynek legnagyobb indexű tagja ‐ holott ennek jele az adott szöveg szerint ‐ és következésképpen (3) helyett -et kaptak. Ezeket is elfogadtuk, megjegyezzük azonban, hogy körültekintő olvasónak különösen a ,,szokatlan'' dolgokra ‐ mint itt a sorozat 0-indexű tagjára, fel kell figyelnie. Még több az olyan dolgozat, amely nem tesz megjegyzést arról, hogy (3) nemcsak -re érvényes. (A (2)-t előállító meggondolásokban ugyanis felhasználták az adott összefüggést, amelynek és 1-gyel nincs értelme.) |