Kezdőlap


Feladat:	1017. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bach Katalin , Miklóssy Endre
Füzet:	1960/november, 127 - 129. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Mértani sorozat, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/január: 1017. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az adott képezési szabállyal a sorozat első 7 tagja:

\begin{matrix} 2, 3, 5, 17, 33, 65. \end{matrix}

(1)

Tekintsük a szomszédos tagok különbségeiből álló sorozat így kiszámítható tagjait:

\begin{matrix} c_{1} - c_{0} = d_{0} = 1, c_{2} - c_{1} = d_{1} = 2, d_{2} = 4, d_{3} = 8, d_{4} = 16, d_{5} = 32. \end{matrix}

Ezek mértani sorozatot alkotnak, bármelyik (eddigi) két szomszédos különbség hányadosa 2. Ez bármely két szomszédos különbségre igaz, ugyanis

\begin{matrix} \frac{d_{j}}{d_{j - 1}} = \frac{c_{j + 1} - c_{j}}{c_{j} - c_{j - 1}} = \frac{(3 c_{j} - 2 c_{j - 1}) - c_{j}}{c_{j} - c_{j - 1}} = \frac{2 (c_{j} - c_{j - 1})}{c_{j} - c_{j - 1}} = 2, \end{matrix}

és így

d_{k} = 2^{k}

.
Fejezzük ki

c_{k}

-t a

d_{j}

-k segítségével, ebből már remélhető a kívánt jellegű előállítás

\begin{matrix} c_{k} = (c_{k} - c_{k - 1}) + c_{k - 1} = (c_{k} - c_{k - 1}) + (c_{k - 1} - c_{k - 2}) + c_{k - 2} = ... = \\ = (c_{k} - c_{k - 1}) + (c_{k - 1} - c_{k - 2}) + ... + (c_{2} - c_{1}) + (c_{1} - c_{0}) + c_{0} = \\ = d_{k - 1} + d_{k - 2} + ... + d_{1} + d_{0} + c_{0} . \end{matrix}

Így a

d_{j}

-k talált kifejezését beírva (és az összeadandók sorrendjét megfordítva)

\begin{matrix} c_{k} = 2 + (1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{k - 1}) = 2 + \frac{2^{k} - 1}{2 - 1}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} c_{k} = 2^{k} + 1. \end{matrix}

(2)

Vegyük észre, hogy e kifejezés

k = 0

-ra és

k = 1

-re is érvényes.
Most már az első

n

tag összege:

\begin{matrix} S_{n} = c_{0} + c_{1} + ... + c_{n - 1} = (2^{0} + 1) + (2 + 1) + ... + (2^{n - 1} + 1) = \\ = (1 + 2 + ... + 2^{n - 1}) + n, \\ S_{n} = 2^{n} - 1 + n . & (3) \end{matrix}

S_{n}

S_{n - 1}

és

S_{n - 2}

közti összefüggés előállítása céljára (3)-ból, valamint (2)-ből

k = n

-nel

\begin{matrix} 2^{n} = c_{n} - 1 = S_{n} - n + 1, vagyis \\ c_{n} = S_{n} - n + 2. \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} c_{n - 1} = S_{n - 1} - (n - 1) + 2, \\ c_{n - 2} = S_{n - 2} - (n - 2) + 2. \end{matrix}

Ezeket az adott összefüggésbe helyettesítve

\begin{matrix} S_{n} - n + 2 = 3 (S_{n - 1} - n + 3) - 2 (S_{n - 2} - n + 4), \\ S_{n} = 3 S_{n - 1} - 2 S_{n - 2} - 1. & (4) \end{matrix}

Bach Katalin (Szeged, Rózsa F. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Ha már sejtjük a

c_{k} = 2^{k} + 1

összefüggést, ez teljes indukcióval is bizonyítható:

k = 0, 1

-re érvényes az összefüggés, és ha

k - 1

, és

k - 2

olyan számok, amelyekre

c_{k - 1} = 2^{k - 1} + 1

c_{k - 2} = 2^{k - 2} + 1

, akkor

k

is ilyen, mert

\begin{matrix} c_{k} = 3 c_{k - 1} - 2 c_{k - 2} = (2 + 1) (2^{k - 1} + 1) - 2 (2^{k - 2} + 1) = 2^{k} + 1. \end{matrix}

Hasonlóan lehet bizonyítani ‐ ha már észrevettük ‐ az (4) összefüggést.

Miklóssy Endre (Szolnok, Verseghy F. g. IV. o. t.)

2. A (4) összefüggést a következő meggondolással is megkaphatjuk. A (3) jobb oldalán álló

2^{n}

n

tagokat ki kell fejeznünk

S_{n - 1}

S_{n - 2}

-vel. Evégett a (3)-ból

n

helyén

n - 1

és

n - 2

-vel adódó egyenlőségeket:

\begin{matrix} n + \frac{2^{n}}{2} = S_{n - 1} + 2, n + \frac{2^{n}}{4} = S_{n - 2} + 3 \end{matrix}

alakban írva mint az

n

és

2^{n}

,,ismeretlenekre'' fennálló egyenletrendszert megoldjuk:

\begin{matrix} n = - S_{n - 1} + 2 S_{n - 2} + 4, 2^{n} = 4 S_{n - 1} - 4 S_{n - 2} - 4, \end{matrix}

és a kapott kifejezéseket

S = n + 2^{n} - 1

-be behelyettesítjük.
3. A (4) összefüggés meglepően hasonlít a sorozat képezési utasítására. Ezt a (2) és (3) ,,zárt alakokkal'' végzett számítás nélkül úgy is beláthatjuk, ha a

\begin{matrix} c_{n - 1} & = 3 c_{n - 2} - 2 c_{n - 3} \\ c_{n - 2} & = 3 c_{n - 3} - 2 c_{n - 4} \\ ... ... & ... ... ... ... ... ... \\ c_{2} & = 3 c_{1} - 2 c_{0} \\ c_{1} & = 3 c_{0} - 3 \\ c_{0} & = 2 \end{matrix}

egyenlőségeket oszloponként összeadjuk.
4. A dolgozatok nagy része gépies munkával

S_{n}

-nel azt az összeget jelölte, melynek legnagyobb indexű tagja

c_{n}

‐ holott ennek jele az adott szöveg szerint

S_{n + 1}

‐ és következésképpen (3) helyett

S_{n} = 2^{n + 1} + n

-et kaptak. Ezeket is elfogadtuk, megjegyezzük azonban, hogy körültekintő olvasónak különösen a ,,szokatlan'' dolgokra ‐ mint itt a sorozat 0-indexű tagjára, fel kell figyelnie. Még több az olyan dolgozat, amely nem tesz megjegyzést arról, hogy (3) nemcsak

k \geq 2

-re érvényes. (A (2)-t előállító meggondolásokban ugyanis felhasználták az adott összefüggést, amelynek

k = 0

és 1-gyel nincs értelme.)