Kezdőlap


Feladat:	1016. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gergely Márton , László Magdolna , Tattay Emőke
Füzet:	1960/november, 126 - 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/január: 1016. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Utcák házainak szokásos számozásában a házszámok mindig 2-vel nőnek, így egy összefüggő szakaszon levő házszámok számtani sorozatot alkotnak. Egy oldalon vagy minden házszám páratlan, vagy mind páros. Legyen a szakasz első házának száma $a_{1}$ , a házak száma $n$ , akkor az utolsó ház száma $a_{n} = a_{1} + 2 (n - 1)$ , így összegük:

\begin{matrix} S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2} = \frac{[2 a_{1} + 2 (n - 1)] n}{2} = (a_{1} + n - 1) n = 117, \end{matrix}

és innen

\begin{matrix} a_{1} = \frac{117}{n} - n + 1. \end{matrix}

Eszerint

n

csak 117 valamelyik osztója lehet, éspedig 5, vagy nagyobb szám, hiszen az utcaszakaszon legalább 5 ház van, továbbá olyan, amellyel

a_{1}

pozitívnak adódik. Már most törzsszámhatványok szorzataként írva

117 = 3^{2} \cdot 13

, osztói: 1, 3, 9, 13, 39, 117, ezek közül a követelményeknek csak

n = 9

felel meg, és evvel

a_{1} = 5

. Így az ötödik ház az

5 + 4 \cdot 2 = 13

-as számot viseli. (Ez a ház a szakasz végétől is ötödik.)

László Magdolna (Budapest, Martos Flóra lg. III. o. t.)

II. megoldás: Az összeg páratlan, ezért az utcaszakasznak csak a páratlan oldaláról lehet szó. És a szakaszon levő házak száma is páratlan, mert páros számú páratlan összeadandó összege páros. Számtani sorozat páratlan számú egymás utáni tagjának összege egyenlő a középső tagból (jelöljük

m

-mel) és a tagok

n = 2 k - 1

számából képezett szorzattal. Így egyrészt

\begin{matrix} m n = 117, \end{matrix}

másrészt a

2 k - 1 = 2 (k - 1) + 1

tagú sorozat középső (

k

-adik) tagja esetünkben legalább

1 + 2 (k - 1) = 2 k - 1

, azaz

m \geq 2 k - 1 = n

. Eszerint

117 = m n \geq n^{2}

, és így

n \leq 10

. Ámde

n \geq 5

, tehát

n

szerepére, 117 osztói közül csak a 9 megfelelő nagyságú. Ebből ismét 13-nak adódik a keresett házszám.

Tattay Emőke (Budapest, Kaffka M. lg. III. o. t.)

III. megoldás: Házsorunk a páratlan oldalon van. Ha 1-től kezdve

n

páratlan számot adunk össze, az összeg

n^{2}

. Mivel 117 nem teljes négyzet, ezért házsorunk első háza nem lehet 1-es. Így kell, hogy 117 két négyzetszám különbségeként legyen írható:

117 = b^{2} - c^{2}

, ahol

b

az utca elejétől házsorunk végéig található házak száma,

c

pedig a házsorunkat megelőző házak száma. Most már

\begin{matrix} b^{2} - c^{2} = (b - c) (b + c) = 117 = 1 \cdot 117 = 3 \cdot 39 = 9 \cdot 13 \end{matrix}

alapján a fentiekhez hasonlóan választjuk ki a megoldást.

Gergely Márton (Pannonhalma, Bencés g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Itt, hogy egyszerűen beszélhessünk, feltettük, hogy minden telken van ház. Persze mindig feltettük, hogy az utcaszakaszon sem összevont, sem megosztott telkek nincsenek (pl. 11‐13, vagy 7/a).
2. Néhány dolgozat más számozási elvből kiindulva is adott megoldást. Ezekre itt nem térünk ki.