|
Feladat: |
1015. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bácsy Zs. , Biborka T. , Bollobás B. , Bornes Klára , Börzsönyi J. , Fekete J. , Frint G. , Fritz J. , Gazsi L. , Grüner Gy. , Hahn J. , Hajna János , Holop A. , Kiss A. , Klimó János , Knuth E. , Mészáros Kornélia , Molnár E. , Tihanyi A. , Török P. , Várady G. , Veress Gy. |
Füzet: |
1960/november,
124 - 126. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Terület, felszín, Trapézok, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1959/december: 1015. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az 1014. feladat jelöléseivel oldallapjainak magassága , és így területe , az oldalél hossza pedig hasonlóan .
Az oldallapokon a metszéssel előállt kisebb háromszögek területét egyszerűen kapjuk a következő nyilvánvaló segédtétel alapján. Ha az , fél egyeneseken , olyan pontok, amelyekre és , akkor az háromszög területe -szerese az háromszög területének. Így az oldallap -re eső háromszögének területe , ennélfogva a -re eső rész területe . Hasonlóan a , , oldallapok , ill. -re eső részének területe rendre és , és , végül és , így -nek palástfelszínéből -re esik , -re pedig . Az alaplap megfelelő részeinek területe (lásd 1014-ben) , ill. . A és mindegyikének lapját adó síkmetszet és részei trapézok, mert a 966. feladat szerint , és mindegyike párhuzamos -vel, és így egymással is. és magasságainak aránya nyilván egyenlő az aránnyal; ez pedig a háromszög szögfelezője által létesített szakaszok arányára ismert tétel alapján egyenlő az aránnyal, ugyanis , mint az alapnégyzet átlójának része, felezi az háromszög -nél levő szögét. Az adatok szerint , tehát . és párhuzamos oldalainak hossza , és , így a középvonal hossza -ben , -ben , és ebből arányuk . Ezek szerint területének megállapítása céljára elég és -nek , ill. területe közül egyiket kiszámítani, mert a másik a | | arány alapján kifejezhető. Innen területe . kiszámításához elegendő, ha még meghatározzuk és szárait. Az eddigiekből nyilván , mert . ‐ -öt tekintsük azon téglatest egyik testátlójának, melynek 2 lapsíkja párhuzamos síkjával, további 2‐2 lapsíkja merőleges -re, ill. -re, és mindhárom párhuzamos síkpár egyik tagja -en, másik tagja -ön megy át. Az -vel párhuzamos síkok távolsága, a téglatest egyik éle, nyilván és magasságkülönbségével egyenlő, ami az idézett eredmények ill. adat szerint . A további két síkpár távolsága ‐ gondolva , , -nek -re, ill. -re vett vetületére, melyek közül vetülete felezi az illető élt ‐ | | Ezekkel | |
Messe most már -at az -en át -mal húzott párhuzamos -ben (1014. fd. 1. ábra), tehát a fentiekből , másrészt . Vegyük észre, hogy az háromszög oldalai arányosak , , -vel. Az ezekkel mint oldalakkal szerkesztett háromszög területe a Heron-képlet beszorzással előálló | | alakjából . Ezért az háromszög területe , és így az alaphoz tartozó magassága . És mivel , azért a síkmetszet területe: | |
Mindezek alapján és felszíne
Hajna János (Pécs, Széchenyi I. g. IV. o. t.) | Megjegyzések. 1. A koszinusz-tétel felhasználásával az háromszögből , és így az háromszögből rövidebben, | | Hasonlóan az és háromszögekből ez az egyszerű eredmény adódik: .
Klimó János (Kaposvár, közg. techn. IV. o. t.) | 2. területét úgy is megkaphatjuk, hogy az háromszög területéből kivonjuk az és háromszögek területének összegét. Vázoljuk ezt a számítási lehetőséget. A háromszögből ; az oldallapoknak az alapélen levő szögére ; így -ből (vagy ismét a térbeli Püthagorász-tétellel) , -ből , így területe (Heron). A levágandó háromszög hasonló -höz, pedig -höz, , , így , , továbbá , . Ezekből fenti segédtételünk alapján a levágandó háromszögek területe , ill. része területének, együtt része, tehát -ra rész marad vissza, ami ismét . 3. Elsősorban az ábrázoló geometriában jártas versenyzőink számára ‐ de valamennyi olvasónknak is ‐ ajánljuk ábránk tanulmányozását. Ezen az alapsíkba (-be) forgatva látják az oldallapot és az háromszöget, az utóbbihoz az -ben adódott -at használtuk fel, -hez pedig azt, hogy a oldalmagasság és vetületének egyenlősége folytán egyenlő -vel. ‐ A dolgozatok jórésze több vetítéssel, hosszas meggondolásokkal lényegében hasonló, de hosszabb utakon jutott eredményhez.
|
|