|
Feladat: |
1014. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Biborka T. , Bollobás Béla , Bornes Klára , Csikor F. , Csizy L. , Czékus L. , Dudás J. , Dömötör Gyula , Farkas H. , Farkas Z. , Fekete J. , Frint Gábor , Fritz J. , Gazsi L. , Grüner Gy. , Hahn J. , Holop A. , Homitzky L. , Klimó J. , Knuth E. , Kóta G. , Kövessi Nóra , Marton Katalin , Máté A. , Máté Zs. , Molnár E. , Náray-Szabó G. , Noszticzius Z. , Pál G. , Páska Cs. , Pósch Margit , Simonovits M. , Szalay G. , Székely J. , Tihanyi A. , Urbán L. , Vámos P. , Várady G. |
Füzet: |
1960/november,
120 - 124. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Négyszög alapú gúlák, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Tetraéderek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1959/december: 1014. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Jelöljük az rész-test térfogatát -gyel, az rész-test térfogatát -vel. Elég pl. -et önállóan kiszámítani, mert és összege egyenlő az eredeti gúla térfogatával, ahol az alapél és a magasság közös hosszát jelöli. 1. ábra Az ajánlott gúla része -nek, úgy áll elő, hogy -et egyrészt a , , , másrészt az , , csúcsokon átmenő síkkal metsszük. A lemetszett és részek háromoldalú gúlák. Eszerint -et , és -nak , , térfogatából összeadással kaphatjuk. alapja az négyzetből a derékszögű háromszög lemetszésével áll elő, amelyben , , így az alap területe . magassága az idézett eredmény szerint nyilvánvalóan , ennélfogva . kiszámításához vegyük alapjának az háromszöget, ekkor a testmagasság -nek az -et tartalmazó laptól való távolsága. Az lap területének számításához alapnak -t véve a magasság -nek -től való távolsága. Így a feltevésre tekintettel | | (1) |
Az idézett eredmények szerint egyenlő az háromszög magasságának felével. E magasság hossza nyilván , tehát . ‐ Másrészt annak a távolságnak 5-ödrésze, amennyire (vagy a él bármely pontja) van az laptól. Könnyen számíthatjuk ezt mint a él felezőpontjának -től való távolságát, mert ez az háromszög -ből húzott magassága. E háromszög területének kétféle kifejezéséből ‐ az alap középpontját -va1 jelölve ‐ | | ennélfogva , és végül Hasonlóan | | (2) | ahol az távolsága -tól, és az távolsága a , azaz laptól. Itt nyilván , és , tehát Mindezek alapján | | ebből pedig az előrebocsátottak szerint | | (Mint látjuk, valamivel kisebb -nél.)
Marton Katalin (Budapest, Fazekas M. gyak. g. IV. o. t.) | Megjegyzések. 1. Az (1) és (2) céljára elég a , ill. szorzat értékét -val kifejeznünk. Az utóbbi szorzat megállapítható és -nek egy a élre merőleges síkon adódó vetületéből. E vetületben és valódi nagyságukban látszanak, mert mindkét szakasz merőleges -re és így párhuzamos -vel. Másrészt egyik oldalát és hozzátartozó magasságát adják az , , csúcsok vetületei által alkotott háromszögnek, így szorzatuk e háromszög 2-szeres területét adja. Ez a terület úgy is kiszámítható, hogy összehasonlítjuk annak a háromszögnek a területével, amelyet a test , , csúcsainak ugyancsak -re való vetületei határoznak meg. E háromszög területe, vetületét véve alapnak, , mert alapja és magassága . Ha pedig vetületét vesszük alapnak, ennek vetülete a 966. feladat idézett eredményei szerint része, az vetületéből húzott magasságnak pedig az vetületéből húzott magasság része. Eszerint a vetületbeli háromszög területe , a vizsgált szorzat , végül ismét | | Hasonlóan és -nek egy az élre merőleges síkon előálló vetületéből az idézett eredmények alapján (lásd a 2. ábrát) | |
2. Ajánljuk olvasóinknak, hogy térbeli feladatok megoldásában próbálják meg segítségül venni az ábrázoló geometria rajzoló módszereivel előállított vetületeket. A fentihez hasonló meggondolásokban, a képeknek az eredeti jelentéstől kissé eltávolodó értelmezésében azonban fokozott óvatosságot tanúsítsunk ! Ilyet látunk a következő megjegyzésben is. 3. Egyrészt a szakaszon, másrészt rendre az , , ponton át fektetett síkokkal -et négy részre vágva is kiszámíthatjuk -et. Az egymás utáni részek: az alapú, csúcsú, négyoldalú gúla, a közös alapú és , ill. csúcsú háromoldalú gúlák és az alapú csúcsú gúla. Az első és a negyedik gúla alapterülete az 1015. feladat segédtételének felhasználásával , ill. , a megfelelő magasságok , ill. , így a térfogatok a , ill. . A 2-ik és 3-ik gúla térfogatának összege egyszerre számítható: a mondott közös alap területe része a háromszög területének: , a két magasság összege pedig egyenlő az szakasznak a alapsíkon levő vetületével -vel. Tehát az együttes térfogat . E három térfogat összege a fenti .
Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.) | II. megoldás: Részekre bontás nélkül, kiegészítéssel számíthatjuk -et, ha -hez hozzávesszük az alapú, csúcsú és a alapú, csúcsú háromoldalú gúlát. Így a alapú, csúcsú háromoldalú gúlához jutunk és | |
Dömötör Gyula (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.) | III. megoldás: Számítsuk ki önállóan -t abból, hogy -t az síkkal metszve két olyan gúlát kapunk, melyek közös csúcsa , alapjuk pedig és . Ezek területe , ill. az 1015. feladat megoldása szerint . Az első gúla magassága , így térfogata . A második gúla magassága -nek, vagy ami ugyanaz, a élnek a metsző -től való távolsága. Ennek meghatározására messük -t a -re merőleges síkkal. A síkmetszet oldalai egyenlők az és , a és , ill. az és párhuzamosok távolságával. Az első nyilván fele, a második pedig harmada az háromszögben a alaphoz tartozó magasságnak, vagyis , ill. ; a harmadik pedig az 1015. feladat megoldása szerint . Ezekből e metszet területe (a Heron-képlet beszorzással adódó alakjából) , és a harmadik oldalhoz tartozó magassága, a keresett távolság . Most már az gúla térfogata és a két gúla térfogatának összege .
Frint Gábor (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. III. o. t.) | Megjegyzés. -t az síkkal kettévágva két ferdén lemetszett háromoldalú hasábot kapunk. Könnyű belátni, hogy ilyen hasáb térfogatát az oldalélekre merőleges keresztmetszetnek az oldalélek számtani közepével való szorzata adja (pl. a legrövidebb oldalél egyik végpontján át a másik véglappal párhuzamos metszéssel a test egy hasábra és egy trapéz alakú gúlára bontható; másképpen pedig egy trapéz és egy háromszög alapú gúlára). Az hasáb keresztmetszetének területe a arány alapján része a fenti megoldásban nyert keresztmetszetnek, a hasábé pedig része ugyanennek. Így ‐ -vel a oldalélt jelölve
Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.) |
|
|