Kezdőlap


Feladat:	1012. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gonda Júlia , Knuth Előd
Füzet:	1960/november, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/december: 1012. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a súlyvonalak végpontjai, vagyis az oldalak felezőpontjai rendre $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ . $b < c$ , azaz $A C < B C$ folytán $A$ a $B C$ oldal felező merőlegesének azon a partján van, mint $C$ , ezért az $A A_{1} = s_{a}$ súlyvonal a $δ$ hegyes szöget $A_{1} C$ -vel zárja be.

A A_{1} C

háromszögből a koszinusz-tétellel

\begin{matrix} ctg δ = \frac{cos δ}{sin δ} = \frac{A_{1} A^{2} + A_{1} C^{2} - A C^{2}}{2 A_{1} A \cdot A_{1} C sin δ} = \frac{s_{a}^{2} + \frac{a^{2}}{4} - b^{2}}{4 t_{1}}, \end{matrix}

(1)

ahol

t_{1}

A A_{1} C

háromszög területét jelöli, ami nyilván fele az

A B C

háromszög

t

területének.

s_{a}^{2}

-et kifejezhetjük a háromszög oldalaival. Ugyanis ismét az

A A_{1} C

, majd az

A A_{1} B

háromszögből

cos (180^{\circ} - δ) = - cos δ

figyelembevételével

\begin{matrix} b^{2} = \frac{a^{2}}{4} + s_{a}^{2} - a s_{a} cos δ, c^{2} = \frac{a^{2}}{4} + s_{a}^{2} + a s_{a} cos δ . \end{matrix}

Ezek félösszegéből

\begin{matrix} s_{a}^{2} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2}, \end{matrix}

és ezt, valamint a

t_{1} = t / 2

kifejezést (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} ctg δ = \frac{c^{2} - b^{2}}{4 t} . \end{matrix}

Hasonlóan adódnak a

\begin{matrix} ctg ε = \frac{c^{2} - a^{2}}{4 t}, ctg ζ = \frac{b^{2} - a^{2}}{4 t} \end{matrix}

kifejezések, és ezekből az állítás helyessége nyilvánvaló.

Gonda Júlia (Makó, József A. g. III. o. t.)

Megjegyzés. Lényegében ugyanígy, a koszinusz tételnek csupán látszólagos megkerülésével adódik

ctg δ

fenti kifejezése az alábbi úton. Legyen az

A

-ból húzott

m_{a}

magasság talppontja

A_{0}

és

A_{1} A_{0} = x

. Ekkor

ctg δ = x / m_{a}

, ill.

a m_{a} = 2 t

alapján

ctg δ = a x / 2 t

. Legyenek a

c

b

oldalak vetületei

a

-n

B A_{0} = c_{a}

C A_{0} = b_{a}

. Így ha

γ

hegyesszög vagy derékszög, akkor egyrészt

B A_{1} = A_{1}

C

-ből

c_{a} - x = b_{a} + x

, így

x = (c_{a} - b_{a}) / 2

, másrészt

B C = B A_{0} + A_{0}

C

-ből

a = b_{a} + c_{a}

, ennélfogva

ctg δ

számlálója

a x = (b_{a} + c_{a}) (c_{a} - b_{a}) / 2 = (c_{a}^{2} - b_{a}^{2}) / 2 = [(c^{2} - m_{a}^{2}) = (b^{2} - m_{a}^{2})] / 2 = (c^{2} - b^{2}) / 2

. Ha pedig

γ

tompaszög, akkor

c_{a} - x = x - b_{a}

-ból

x = (c_{a} + b_{a}) / 2

és

a = c_{a} - b_{a}

alapján ugyanaz a kifejezés adódik. ‐ Vegyük észre, hogy a felhasznált gondolatok ugyanazok, mint a koszinusztétel legismertebb levezetésében: a

B C

oldalegyenesen az

A_{0}

talppont által létrehozott szakaszok összege vagy különbsége a

B C

oldalt adja, és az

A B A_{0}

A C A_{0}

háromszögek derékszögűek.

Knuth Előd (Budapest, I. István g. III. o. t.)