|
Feladat: |
1011. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Grüner Gy. , Hajna János , Hegedüs I. , Homitzky Lajos , Horváth S. , Klimó J. , Máté Zsolt , Molnár Emil , Simonovits Miklós , Tihanyi A. , Várady G. |
Füzet: |
1960/november,
112 - 117. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Trapézok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Négyszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1959/december: 1011. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A kérdéses trapézokban két szomszédos szög derékszög, a másik kettő általában ferde szög. A kérdést két esetben kellene vizsgálnunk aszerint, hogy az állandó összegű két szomszédos oldal között tetszés szerinti ( és közötti) szög, ill. derékszög van, azonban mindkettő speciális esete annak a feladatnak, amely az adott feladatból a ,,derékszögű'' jelző elhagyásával keletkezik. Célszerű ezért előbb ezt az általánosabb feladatot megoldanunk. Tekintsük tehát azokat az a trapézokat, amelyeknek párhuzamos oldalai és , bennük a és oldalak összege adott állandó, továbbá , valamint szögük egy adott , ill. szöggel egyenlő. Legyenek a síkon egy nagyságú szög szárai az és félegyenesek. Helyezzük el valamennyi vizsgálandó trapézunkat úgy, hogy csúcsuk a szög csúcsába, , csúcsaik pedig , ill. -re essenek. Forgassuk bele valamennyi trapéz oldalát körül a oldal meghosszabbításába; így valamennyi csúcs az szár azon pontjába jut, amelyre (1. ábra).
1. ábra Az háromszögek egyenlő szárúak, és -nál levő szögük , állandó, ennélfogva minden csúcs azon a -ból kiinduló félegyenesen van, amely a félegyenessel a -t tartalmazó oldalán szöget zár be. Avégett, hogy trapézaink területét összehasonlítsuk, próbáljunk mindegyikhez egy olyan vele egyenlő területű trapézt képezni, melyben az egyik alap , és egy további csúcs a -n van. -hez ilyen az a trapéz, amelynek csúcsát az az egyenes metszi ki -ből, amely az szár felezőpontját -lal köti össze, ‐ feltéve, hogy ez a metszéspont a szakaszra vagy -be esik (egyelőre csak az ilyen -ket tekintjük). Így ugyanis a levágott és a hozzávett háromszögek egybevágók, tehát területe valóban egyenlő -ével. a háromszög -ból induló súlyvonala. És mivel valamennyi háromszög hasonló helyzetű ‐ hasonlósági pontjuk ‐, azért az szár minden helyzetének felezőpontja egy a -on átmenő egyenesen van rajta. Legyen és metszéspontja . Így mindegyik tekintetbe vett a háromszögnek része, nyilvánvaló tehát, hogy annak a -nak a területe a legnagyobb, amelyben és a -ba esik, és területe egyenlő területével. Azon további -k területéről, melyeknek oldalát a -n túli meghosszabbításban metszi, vagyis -n túl (az 1. ábrán pl. ), nyilvánvaló, hogy kisebb területénél, éspedig annyival, amennyi a háromszög területe. Ennyivel kisebb ugyanis a -ből az szakasszal levágott négyszög területe a hozzávett háromszög területénél. ‐ Ennélfogva a vizsgálandó trapézok közül területe a legnagyobb. Mindezek szerint -ot az alábbi úton kaphatjuk. Az -n felvett szakaszhoz -ban meghúzzuk a vele szöget bezáró -t és -ben a szöget bezáró -t. A -n tetszés szerint választott körül sugárral -ből kimetsszük -t, a háromszöget kiegészítjük paralelogrammává, majd ennek átlójával -ből kimetsszük -ot. Végül -on át -val, ill. -vel párhuzamost húzva kimetsszük -ből -ot, -ból -ot. A paralelogramma hasonló -hez, ezért a háromszög hasonló -hez, vagyis egyenlő szárú, tehát egyrészt , és így , másrészt , ezek szerint megfelel a követelményeknek. egyértelműen létrejön, ha és a szög összege kisebb -nál. Továbbá az előálló megfelelő, ha a szakaszra esik, ennek feltétele a háromszögből: . Az utóbbi feltétel létrejövéséhez is elegendő, mert az -nek része, tehát kisebb annál. Ezek szerint speciálisan -kal és tetszés szerinti és közti -val feladatunk megoldható, mert hegyesszög (ilyen eset az 1. ábra). Ha viszont , akkor a feltétel alapján a fentiek szerint csak esetére kapunk megoldást. esetében a -be esik, a trapéz elfajul egyenlő szárú derékszögű háromszöggé és az előírt szög az idomban nem látható. A esetekre megmutatjuk, hogy nincs legnagyobb területű valódi trapéz, mert ha és (2. ábra) teljesítik a követelményeket és , akkor területe nagyobb területénél, vagyis a terület a oldal csökkenésével nő.
2. ábra Legyen és metszéspontja , és messe az -n át -gyel húzott párhuzamos -et -ben. Így egyrészt , vagyis és nem közös részeiben, az téglalapban és az trapézban az egyik oldal, ill. a magasság egyenlő. Másrészt az derékszögű háromszögben , így , tehát területe nagyobb területénél, amit bizonyítani akartunk. ‐ Ezzel vizsgálatunkat befejeztük.
Összeállítva Molnár Emil (Győr, Révai M. g. III. o. t.), | Simonovits Miklós (Budapest, Radnóti M. g. II. o. t.) | és Hornitzky Lajos (Budapest, I. István g. III. o. t.) | dolgozataiból és diszkusszióval kiegészítve. Valamennyi többi dolgozat számítással, legnagyobbrészt trigonometriai számítással készíti elő a szerkesztést. Ilyen a következő megoldás. II. megoldás: 1. Legyen a derékszögű szár ismét , és , . A szerkesztés előkészítéséül -ból és -ből számítással állapítjuk meg a legnagyobb területtel bíró trapéz ,,ferde'' szárát. Nyilván csak a értékekről lehet szó. ‐ -nak -n levő vetületét -vel jelölve , ha hegyesszög, és , ha tompaszög (1. ábra). Mivel hosszát a szorzat abszolút értéke adja, és hegyes és tompa szögekre ellentett jelű, azért a két kifejezést egybefoglalhatjuk: | |
Ennélfogva a trapéz középvonala . Másrészt a magasság , és így a terület: Mivel a tényező pozitív állandó, elég megkeresni a | | (1) | függvény legnagyobb értékét, ha . az -nek másodfokú függvénye, mert együtthatója bármely esetén 0-tól különböző, éspedig negatív, hiszen . Ennek kiemelésével és teljes négyzetté kiegészítéssel (1) az
alakban írható. Ebben csak az első tag változó, és értéke negatív vagy 0, mert, a kéttagú kifejezés négyzete pozitív vagy 0. Eszerint -nek van legnagyobb értéke éspedig arra az -re, amelyre a kéttagú értéke 0, vagyis ha A szóba jövő értékek mellett . Így egyrészt (természetesen ), másrészt , tehát az számára figyelembe jövő értékek közé tartozik. A legnagyobb területű trapéz megszerkesztése során kézenfekvő -ot pl. (2) alapján hasonló háromszögek felhasználásával előállítani. Vegyük észre azonban, hogy a keresett trapézben a fenti kifejezések és (2) alapján , vagyis az háromszög egyenlő szárú. Tekintve még, hogy az , , csúcsok hasonlóság erejéig meghatározzák -t, adódik a következő szerkesztés. Egy csúcsú, nagyságú szög száraira egyenlő , és szakaszokat mérünk (3. ábra). 3. ábra -gyel -en át párhuzamost, -re -en át merőlegest húzunk, metszéspontjuk . -et körül meghosszabbítására forgatjuk, új helyzete , -től irányába felmérjük -et. A -on át -gyel párhuzamos egyenesre -ből rávetítjük -et, a kapott -n át , és -gyel húzott párhuzamosok az szög száraiból kimetszik és -ot, ekkor a kívánt trapéz. Ez megfelel a követelményeknek, mert szögei az előírtak, másrészt a háromszög hasonló -hoz, tehát egyenlő szárú és így . A szerkesztés egyértelműen végrehajtható. 2. Legyen másodszor , , , és , ahol . Így , és a fentiekhez hasonlóan ‐ mert a szár -n levő vetületének hosszát (lásd a 2. ábrán -ben) a derékszögű háromszögből a szorzat abszolút értéke adja és hegyes és tompa szögekre ellentett jelű. Így a középvonal , másrészt a magasság , tehát a terület: Ennek az előbbiekhez hasonlóan legnagyobb értéke van az helyen, ha pozitív, vagyis . akkor esik 0 és közé, ha , vagyis , . Ilyenkor itt is áll , ennek alapján a fenti hasonlósági transzformáció ismét használható, helyett -ot és helyett szöget használva. és folytán a trapéz konvex és nem fajul el. Ha , akkor , és , , vagyis a legnagyobb területű trapéz elfajul. (Az értéket éppen az elfajult esetek kiküszöbölése végett zártuk ki.) Ugyanez adódik a esetekre a következő meggondolásokból. Ha , vagyis , akkor képe olyan parabola, melynek csúcsa ,,fönt'' van, az helyen veszi fel legnagyobb értékét, az értékekre növekvő. Ide esnek a minket érdeklő értékek, közülük ismét az -nél volna legnagyobb értéke. , esetén növekvő elsőfokú függvény. esetén -ben együtthatója pozitív, képének ,,lent'' van a csúcsa, de ennek abszcisszája negatív, így a minket érdeklő értékekre ismét növekvő, legnagyobb volna a meg nem engedett -nél. Ezzel vizsgálatunkat befejeztük.
Összeállítva Hajna János (Pécs, Széchenyi I. g. IV. o. t.) | és Máté Zsolt (Szeged, Radnóti M. g. IV. o. t.) | dolgozataiból, kiegészítésekkel és rövidítésekkel. Megjegyzések. A beérkezett dolgozatok szerzőinek javarésze sok munkát fektetett megoldásába, ezért az átlagosnál több probléma, téves nézet merült fel. Alább néhányat szóvá teszünk. 1. Sok oda nem való elem tapad a trapéz fogalmához. 1. ábránkon éppen avégett forgattuk el a trapézt a ,,hagyományos'' helyzetből, hogy olvasóinkat a geometriai tényeknek bármely helyzetben való felismerésére szoktassuk. Háromszögeknél nem ütközünk meg azon, hogy nem minden magasság ,,függőleges'', így a trapézok alapjairól se higgyük, hogy okvetlen ,,vízszintesek'', ‐ amint nem egy dolgozat írta. Még többen voltak, akik lényeges különbséget tettek az alsó és a felső (a nagyobb és a kisebb) alap között, és a kérdést 4 esetben vizsgálták aszerint, amint az , , , összeg állandó ( és a párhuzamos oldalak, , és a merőleges szár). Ez egyfelől helyes körültekintés, teljességre való törekvés, másfelől van benne lényeg nem látás is. Nem egy ilyen dolgozat kimondta pl. az és esetek hasonlóságát (pl. így: ,,semmi újat nem mond''), de nem jutott el a két eset összevonásáig. 2. Jónéhány dolgozat szükségtelenül a differenciálszámításnak a függvények szélső értékei megállapítására vonatkozó módszereiből alkalmazta a legismertebbet, hogy ti. bizonyos egyszerű függvényeknek csak ott lehet helyi szélső értékük, ahol differenciálhányadosuk értéke 0. Azt azonban már többnyire nem vizsgálták e dolgozatok, hogy valóban van-e a kérdéses helyen szélső érték, és ha van, akkor milyen természetű, és hogy a kérdéses hely beleesik-e a változó számára figyelembe veendő intervallumba. Megfelelő diszkusszió nélkül e tanulók ugyanúgy hibás eredményekre jutottak vagy juthattak volna, amint a differenciálszámítás kialakulásának kezdetén egyes kutatók téves megállapításokra jutottak. 3. Szórványosan előfordult a szövegnek az a téves értelmezése, hogy minden két szomszédos oldal összege állandó. Így nem volna változási lehetőség. 4. Több jó dolgozat annyira csupán számítási kérdésnek tekintette a feladatot, hogy a szerkesztésről csak efféle megjegyzést tett: ,,az eredmények megszerkeszthetők''; ezek kissé hiányosak. |
|