A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Képezzük a két oldal különbségét, igyekezve közös nevezőre hozás után a számlálót szorzattá alakítani. Hozzuk először közös nevezőre a két oldal első tagjainak különbségét, ebből megkapjuk a második tagok különbségét is, ha helyébe -t, helyébe -t írunk:
tehát egyenletünk két oldalának különbsége a következő alakban írható:
Ez a kifejezés csak ott lehet 0, ahol vagy az , vagy az kifejezés eltűnik, tehát csak az helyeken, feltéve, hogy . E feltétel mellett tehát csak az említett 4 szám lehet gyöke az egyenletnek. Ezek mind gyökei az (1) egyenletnek, mivel a két oldal különbségére csak azonos átalakításokat alkalmaztunk, ‐ kivéve ha szerepel köztük olyan érték, amelyre a nevező eltűnik. 4-nél kevesebb különböző gyököt kapunk akkor is, ha a gyökök közt vannak egyenlők, továbbá ha és ellenkező előjelű, mert ekkor nem tűnik el a valós számok körében. Meg kell vizsgálnunk, hogy , , , milyen értékei mellett fordulhatnak elő ezek az esetek. Egyelőre feltesszük, hogy a paraméterek egyike sem 0. Az esetben (2) bármely olyan -szel eltűnik, amely mellett van értelme, és így (1) elfajul azonossággá. Valóban, ekkor -ből , így , , ezért | | ugyanígy vagyis a jobb oldal két törtje (fordított sorrendben) azonos a bal oldal egy-egy törtjével. ‐ Ha fennáll , akkor az és szorzatok ellentett előjelűek, így a két tényező előjele egyikükben megegyező, másikukban ellentétes, tehát , , , között vagy 3 pozitív, vagy pedig 3 negatív szám szerepel. Nem fogadhatjuk el megoldásnak a és a számokat, mert ezek mellett (1)-ben legalább egy tört kifejezésnek nincs értelme. Az érték akkor egyenlő a kizárt értékek valamelyikével, ha , vagy , azaz , vagy , ill. a négy esetet összefoglalva, ha ; minden ilyen esetben ‐ és csak ezen esetekben ‐ is kizárt érték. Hasonlóan akkor áll be az | | egyenlőségek bármelyike, ha , és e feltétel teljesülése esetén is kizárt érték, ugyanis pl. -ből négyzetreemeléssel és osztással , vagyis . akkor különböző -től ha . Összefoglalva: ha , , , mindegyike 0-tól különböző, akkor (1) gyökei: | | , ha az hányados 1-től különböző, pozitív szám és . Eredményeink akkor is érvényesek, ha a paraméterek számára megengedjük a 0-értéket. Így is csak egyikük lehet 0, ugyanis ha legalább kettőjük 0, akkor vagy (1) értelmetlen ‐ ha ti. , vagy ‐, vagy (2) szerint (1) elfajul azonossággá ‐ ha ti. , vagy , ill. , vagy , mert így . ‐ Ha már most pl. és , ez -t nem befolyásolja; viszont , de ez nem gyök, mert így az szám meg nem engedett érték; a , eset lényegében ugyanilyen. Ha pedig és (vagy és , akkor (2)-ből csak , ha .
Szilassi Lajos (Orosháza, Táncsics M. g. III. o. t.) |
|