Kezdőlap


Feladat:	1009. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bencsik I. , Biborka T. , Bollobás B. , Butor L. , Czékus L. , Durst I. , Farkas Z. , Fejes L. , Fekete J. , Flanek L. , Frint G. , Fritz J. , Gagyi Pálffy A. , Gálfi l. , Gazsi L. , Grüner Gy. , Hahn J. , Hajna J. , Holop A. , Kéry G. , Klimó J. , Kóta G. , Kóta J. , Krámli A. , Máté A. , Máté Zs. , Miklóssy E. , Molnár E. , Müller M. , Pál G. , Páska Cs. , Pinkert A. , Pósch Margit , Sylvester Ádám , Szalay G. , Székely J. , Tihanyi A. , Tomcsányi Gy. , Ungár T. , Vámos P. , Veres Gy.
Füzet:	1960/október, 62 - 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/december: 1009. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás: Az $y_{k}$ sorozat első négy tagjára az állítás igaz: $y_{1} = 3 = 2^{2} - 1$ ; $y_{2} = 17 = 4^{2} + 1$ ; $y_{3} = 99 = 10^{2} - 1$ ; $y_{4} = 577 = 24^{2} + 1$ .
Tekintsük a sorozat páros indexű tagjait, legyen $k = 2 s$ . Válasszuk az 1008. feladat (1) második összefüggésében $k$ és $r$ mindegyikét $s$ -nek:

\begin{matrix} y_{k + r} = y_{2 s} = y_{s}^{2} + 2 x_{s}^{2} . \end{matrix}

(1)

x_{s}

és

y_{s}

-re az 539. gyakorlat szerint teljesül

\begin{matrix} y_{s}^{2} = 2 x_{s}^{2} + 1, \end{matrix}

(2)

ezt (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} y_{2 s} = 4 x_{s}^{2} + 1 = {(2 x_{s})}^{2} + 1. \end{matrix}

(3)

k = 2 s + 1

esetén az eredeti értelmezés szerint

y_{2 s + 1} = 4 x_{2 s} + 3 y_{2 s}

. Ide az 1008. feladat (1) első összefüggése alapján, ismét

k = r = s

-sel

\begin{matrix} x_{k + r} = x_{2 s} = 2 x_{s} y_{s}, \end{matrix}

(4)

tehát (1) felhasználásával

\begin{matrix} y_{2 s + 1} = 8 x_{s} y_{s} + 3 (y_{s}^{2} + 2 x_{s}^{2}) \end{matrix}

és folytatólag (2) figyelembevételével

\begin{matrix} y_{2 s + 1} = 8 x_{s} y_{s} + (3 y_{s}^{2} + 2 x_{s}^{2}) + 4 x_{s}^{2} = 4 x_{s}^{2} + 8 x_{s} y_{s} + (4 y_{s}^{2} - 1) = & (5) \\ = {[2 (x_{s} + y_{s})]}^{2} - 1. \end{matrix}

(5) és (3) szerint

y_{2 s + 1}

valóban 1-gyel kisebb,

y_{2 s}

pedig 1-gyel nagyobb egy páros szám négyzeténél, az állításnak megfelelően.

Sylvester Ádám (Budapest, Rákóczi F. g. III. o. t.)

II. megoldás: Megmutatjuk, hogy minden

y_{k}

páratlan és váltakozva

4 m + 3

és

4 m + 1

alakú, ahol

m

egész. Állításunk első része

k = 1

-re igaz. Ha pedig

k

olyan szám, amelyre igaz, akkor

k + 1

is ilyen szám, mert

y_{k + 1} = 4 x_{k} + 3 y_{k}

-ban az első tag páros, a második páratlan, így az összeg is páratlan. ‐ Állításunk második része

k = 1

és 2-re teljesül, és így írható:

\begin{matrix} y_{1} & = 3 = 4 \cdot 0 + 3 = 4 \cdot 0 + 2 - {(- 1)}^{1}, \\ y_{2} & = 17 = 4 \cdot 4 + 1 = 4 \cdot 4 + 2 - {(- 1)}^{2} . \end{matrix}

Ha már most

k

olyan szám, hogy

\begin{matrix} y_{k} = 4 m + 2 - {(- 1)}^{k}, \end{matrix}

akkor, 3-at

4 - 1

alakban írva

\begin{matrix} y_{k + 1} = 4 x_{k} + 3 y_{k} = 4 (x_{k} + y_{k}) - y_{k} = 4 (x_{k} + y_{k} - m - 1) + 2 + {(- 1)}^{k} = \\ = 4 m + 2 - {(- 1)}^{k + 1}, \end{matrix}

vagyis állításunk utóbbi része is helyes.
Az 539. gyakorlat tétele szerint minden

k

sorszámra

\begin{matrix} 2 x_{k}^{2} = y_{k}^{2} - 1 = (y_{k} - 1) (y_{k} + 1) . \end{matrix}

Segédtételünk első része szerint a jobb oldal mindkét tényezője páros, írhatjuk tehát

\begin{matrix} y_{k} - 1 = 2 u, y_{k} + 1 = 2 u + 2 = 2 (u + 1), \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x_{k}^{2} = 2 u (u + 1) . \end{matrix}

Itt

u

és

u + 1

szomszédos természetes számok, tehát relatív prímek és egyikük páros.
Ha

u

páratlan, akkor

u

és

2 (u + 1)

is relatív prímek, szorzatuk csak úgy lehet teljes négyzet, ha külön-külön is teljes négyzetek:

\begin{matrix} u = p^{2}, 2 (u + 1) = q^{2}, tehát y_{k} = 2 u + 1 = q^{2} - 1. \end{matrix}

(6)

u

páros, akkor

2 u

és

u + 1

relatív prímek és hasonlóan

\begin{matrix} 2 u = r^{2}, u + 1 = s^{2}, tehát y_{k} = r^{2} + 1. \end{matrix}

(7)

Segédtételünk második része szerint

\begin{matrix} u = \frac{y_{k} - 1}{2} = \frac{4 m + 1 - 1 {(- 1)}^{k}}{2} = 2 m + \frac{1 - {(- 1)}^{k}}{2}, \end{matrix}

és ez váltakozva

2 m + 1

, ill.

2 m

alakú, így

k

növekedésével váltakozva (6), ill. (7) teljesül. Ezt kellett bizonyítanunk.

Megjegyzések. I. A II. megoldásból mellékeredményként kapjuk, hagy páratlan, ill. páros

k

-ra, és ugyanilyen

u

-ra

\begin{matrix} u = \frac{y_{k} - 1}{2} = p^{2}, ill. u + 1 = \frac{y_{k} + 1}{2} = s^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} y_{k} = 2 p^{2} y_{k} = 2 s^{2} - 1, \end{matrix}

ahol

p

és

s

páratlanok, vagyis

y_{k}

váltakozva felső, ill. alsó szomszédja egy páratlan szám négyzete 2-szeresének.
2. Az 1008. feladatban bebizonyított (1) összefüggések, valamint az ezekből itt nyert (1) és (4) lehetővé teszik a sorozatpár egyes kívánt tagjainak gyorsabb, kevesebb közbülső tag előállítását igénylő kiszámítását. Keressük pl.

x_{11}

és

y_{11}

értékét. (4) és (1) alapján a közbülső tagok kiszámítása nélkül előállíthatjuk azokat az

x_{n}

y_{n}

számpárokat, amelyeknek sorszáma 2, 4, 8, 16,

...

Így

x_{2} = 12

y_{2} = 17

x_{4} = 408

y_{4} = 577

x_{8} = 470 832

y_{8} = 665 857

. Mivel pedig 11=8+3=8+2+1, azért tovább (1)-ben

k

és

r

értékét előbb 2 és 1-nek, majd 8 és 3-nak véve

x_{3} = 70

y_{3} = 99

és

\begin{matrix} x_{11} & = 70 \cdot 665 857 + 99 \cdot 470 832 = 93 222 358, \\ y_{11} & = 99 \cdot 665 857 + 2 \cdot 70 \cdot 470 832 = 131 836 323. \end{matrix}

Minden természetes szám egyértelműen felírható a ,,2'' szám alkalmas (pozitív egész kitevőjű) hatványaiból képezett összegként (2-es számrendszer), ezért a bemutatott példa mintájára bármely

x_{n}

y_{n}

számpárt kiszámíthatunk lehetőleg kevés közbülső tag megállapítása útján.