Kezdőlap


Feladat:	1008. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Rohrböck Krisztina
Füzet:	1960/október, 62. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/december: 1008. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást $r$ szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. $r = 1$ -gyel az állítások a sorozatpár $k + 1$ -edik tagjainak új értelmezését ismétlik meg, tehát helyesek. Feltesszük, hogy valamely $r = s$ értékre (1) helyes, vagyis

\begin{matrix} x_{k + s} = x_{s} y_{k} + y_{s} x_{k} és y_{k + s} = y_{s} y_{k} + 2 x_{s} x_{k}, \end{matrix}

(2)

és bebizonyítjuk, hogy helyes

r

helyén

s + 1

-gyel is.
Az új értelmezés szerint, majd a (2) indukciós feltevés alapján

\begin{matrix} x_{k + (s + 1)} = x_{(k + s) + 1} = x_{1} y_{k + s} + y_{1} x_{k + s} = x_{1} (y_{s} y_{k} + 2 x_{s} x_{k}) + y_{1} (x_{s} y_{k} + y_{s} x_{k}) = \\ = (x_{1} y_{s} + y_{1} x_{s}) y_{k} + (y_{1} y_{s} + 2 x_{1} x_{s}) x_{k}, \end{matrix}

és felismerve, hogy az utolsó alak zárójeles kifejezései

x_{s + 1}

, ill.

y_{s + 1}

-gyel egyenlők, adódik

\begin{matrix} x_{k + (s + 1)} = x_{s + 1} y_{k} + y_{s + 1} x_{k}, \end{matrix}

vagyis (2) első állítása helyes. ‐ Hasonlóan

\begin{matrix} y_{k + (s + 1)} = y_{(k + s) + 1} = y_{1} y_{(k + s)} + 2 x_{1} x_{k + s} = y_{1} (y_{s} y_{k} + 2 x_{s} x_{k}) + 2 x_{1} (x_{s} y_{k} + y_{s} x_{k}) = \\ = (y_{1} y_{s} + 2 x_{1} x_{s}) y_{k} + 2 (x_{1} y_{s} + y_{1} x_{s}) x_{k} = y_{s + 1} y_{k} + 2 x_{s + 1} x_{k} . \end{matrix}

Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Rohrböck Krisztina (Budapest, Móricz Zs. g. IV. o. t.-Lorántffy Zs. út)

Megjegyzés. Néhány dolgozat annak megmutatásával vélte bebizonyítani az állítást, hogy ha

x_{k}

y_{k}

, és

x_{r}

y_{r}

a szóban forgó sorozatpárnak ugyanazon sorszámú tag-párjai, és így megvan az 539. gyakorlatban bebizonyított tulajdonságuk: kielégítik a

2 x^{2} + 1 - y^{2} = 0

egyenletet ‐, akkor ez a tulajdonsága megvan a belőlük képezett

x_{r} y_{k} + y_{r} x_{k}

y_{r} y_{k} + 2 x_{r} x_{k}

számpárnak is:

\begin{matrix} 2 {(x_{r} y_{k} + y_{r} x_{k})}^{2} + 1 - {(y_{r} y_{k} + 2 x_{r} x_{k})}^{2} = 2 x_{r}^{2} y_{k}^{2} + 2 y_{r}^{2} x_{k}^{2} + 1 - y_{r}^{2} y_{k}^{2} - 4 x_{r}^{2} x_{k}^{2} = \\ = 2 x_{r}^{2} (y_{k}^{2} - 2 x_{k}^{2}) + y_{r}^{2} (2 x_{k}^{2} - y_{k}^{2}) + 1 = (y_{k}^{2} - 2 x_{k}^{2}) (2 x_{r}^{2} - y_{r}^{2}) + 1 = 1 \cdot (- 1) + 1 = 0. \end{matrix}

E meggondolásnak lényeges hiánya az, hogy feltételezi a következő állítás helyességét: ,,minden a

2 x^{2} + 1 - y^{2} = 0

egyenletet kielégítő egész számpár tagjai ugyanazon sorszámmal szerepelnek a szóban forgó sorozatpárban'', más szóval azt, hogy az 539. gyakorlat állítása megfordítható. A hiányt pótolni sem lehet, mert az állítás nem igaz, a mondott egyenletet pl. a 0; 1 számpár is kielégíti, továbbá a 2;

- 3

, a

- 2

; 3 párok is.