A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Előzetes megjegyzés. Sem a háromszög , , oldalegyenesein, sem a kérdéses egyenesen nincs szó irányításról. Így két egyenes szögén mindig azt a kisebb forgást érthetjük, amely egyiküket a közös pontja körül a másikba, ill. kitérő egyenesek esetében egy tetszés szerinti pontja körül a másikkal párhuzamos helyzetbe átviszi. Ez a forgás általában hegyes szög, legfeljebb derékszög. I. megoldás: Az egyenes nem fekhet a háromszög síkjában és azzal párhuzamos sem lehet. Ha ugyanis az -ben feküdnék, akkor és -vel alkotott egyenlő szögei alapján vagy azonos, vagy párhuzamos lenne az és egyenesek szögfelezőinek egyikével, -fel (1. ábra, hegyes szög, mert fele az , oldalegyenesek valamelyik szögének). 1. ábra Így is szöget alkotna -fel. Ámde egy egyenessel a síkban csak két irány alkot egy adott hegyesszöget, esetünkben -fel és irányai. Eszerint párhuzamos lenne és egyikével, tehát nem alkotna velük háromszöget. ‐ Ha pedig párhuzamos volna az síkkal, akkor -nek bármely az -vel párhuzamos egyenese is egyenlő szöget alkotna , , -vel, amiről már láttuk, hogy lehetetlen. Ezek szerint metszi -et egy pontban. Toljuk el , , -t (-ben) úgy, hogy új , , helyzetükben menjenek át -n (2. ábra). 2. ábra Így az , , -gyel is szöget alkot. ‐ -et átmenetileg mellőzve megmutatjuk, hogy benne van azon két síknak egyikében, amelyek merőlegesek -re és azt , és egy-egy szögfelezőjében metszik. Bocsássunk merőlegest -nek egy -től különböző pontjából -re, -re és -re, legyenek talppontjaik , , . Ha e három talppont és közül bármelyik kettő egybeesik, akkor merőleges -re és segédtételünkre nincs szükség. Amennyiben ugyanis azonos -vel, akkor azonos az -re merőleges -gyel; az (és hasonlóan a ) feltevés azt jelenti, hogy azonos az -re merőleges -gyel, így derékszög, tehát a feltevésnél fogva merőleges -nek és (egymástól különböző) egyeneseire; erre vezet az feltevés is, mert így és azonos és egyetlen közös pontjával -vel; végül az , (vagy ) egybeesés feltevése ‐ ha feltesszük, hogy , és különbözők ‐ ellentmondásra vezet, ugyanis így -nek -től való távolsága , és -nek minden az -től különböző pontja -től nagyobb távolságra van -nél, viszont a közös átfogójú , és , derékszögű háromszögek egybevágók, mert -nél levő szögeik egyenlők, és ezért . ‐ Ha az , , talppontok különbözők, akkor rajta van és egyik szögfelezőjén. Ugyanis az és háromszögekből ismét , így a közös befogójú és derékszögű háromszögek egybevágók, így , ez pedig igazolja állításunkat, mert szerkesztésnél fogva merőleges -re és merőleges -re. Ezek szerint -nek -en való vetülete az szögfelező, és fordítva: valóban az -en át -re merőlegesen álló síkban van. Eredményünk szerint az , , egyenespár egyik szögfelezőjén át -re merőlegesen álló síkban is benne van. Ámde az , , egyenespár mindkét szögfelezője különbözik az , pár mindkét szögfelezőjétől, mert e felezők párhuzamosak az eredeti háromszög egy-egy belső, ill. külső szögfelezőjével, azok pedig páronként metszik egymást. Ezért és , különbözők, tehát csak és metszésvonala lehet, ez pedig az -re -ben emelt merőleges. Ezt kellett bebizonyítanunk.
Gagyi Pálffy András (Budapest, Széchenyi I. g. III. o. t.) | Megjegyzés. Az , , metsző egyenesekhez képezett síkot és (egyik) szögfelező síkjának szokás nevezni. Könnyű belátni, hogy ennek minden pontja egyenlő távolságra van és -től. II. megoldás: Az I. megoldás jelölésével vegyünk -n egy -től különböző pontot és mérjünk fel -től , , -re tetszés szerinti szakaszt, az irányokat úgy választva, hogy a , , háromszögek -nél levő szöge egyenlő legyen. Így e háromszögek egybevágók (két-két oldal és a közbezárt szög egyenlősége folytán), tehát . Ennélfogva egy az körül írt gömbön vannak, másrészt -en, tehát és metszésvonalán, amely egy kör, és középpontja -nek -en levő vetülete. Ámde másrészt , , az körül sugárral írt körön is rajta vannak. És mivel 3 pont a kört egyértelműen meghatározza, azért azonos -vel, tehát merőleges -re.
Máté Zsolt (Szeged, Radnóti M. g. IV. o. t.) | III. megoldás: Az előbbi jelöléseket használva tegyük fel, hogy nem merőleges -re, tehát , , -gyel egyenlő hegyesszögeket alkot. Állítsunk -re egy az -től különböző pontján át merőleges síkot. Ez metszi -et egy egyenesben (amely eszerint merőleges -re), pedig , , közül legalább kettőt metsz, mert ezek között nincsenek párhuzamosak. Nem lehet azonban, hogy pl. -et ne messe, mert akkor és párhuzamosak volnának, és a -val együtt az -re is merőleges lenne, feltevésünkkel ellentétben. Legyen metszéspontja , , -en , , . A , , derékszögű háromszögek befogója közös, -nél levő szögeik egyenlők, így egybevágók, tehát , vagyis , , egy az körüli körön vannak. Ez azonban lehetetlen, mert így -nak a egyenessel három különböző közös pontja lenne. Feltevésünk ellentmondásra vezetett, tehát nem állhat, így merőleges -re.
Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.) | Megjegyzés. Végső soron a következő meggondolás is arra vezet, hogy ha nem volna merőleges -re, vagyis , , -re, hanem velük bezárt szöge hegyesszög volna, akkor egy körnek és egy egyenesnek három közös pontja volna. Az -t -ben metsző és vele egyenlő szögeket alkotó egyenesek mértani helye (ha az esetet kizárjuk), az csúcsú, tengelyű és nyílásszögű forgáskúpfelület alkotóinak összessége. Ha hegyesszög, akkor az említett kúpfelületnek (legalább) három alkotója volna -ben: , , . Ez pedig lehetetlen, mert így a fenti által az -ből kimetszett -nak három közös pontja volna az által a kúpfelületből kimetszett körrel.
Góth László (Budapest, Könyves Kálmán g. II. o. t.) | IV. megoldás: Az állítást a vektoralgebra módszereivel is bebizonyíthatjuk. Legyenek a háromszög oldalainak vektorai (valamelyik körüljárás mentén haladva) , , , eszerint továbbá az oldalakkal egyenlő szögeket bezáró egyenes egységvektora , eszerint . Így | | (2) | Szorozzuk meg (1)-et skalárisan -vel és fejezzük ki a tagokat (2) alapján:
Itt az abszolút értékek pozitívok, ezért az egyenlőség csak -val vagyis -kal teljesülhet. Ezt akartuk bizonyítani.
Gálfi László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.) |
Az ábrán úgy van véve, hogy , és .A felhasznált fogalmakat lásd pl. Hajós‐Neukomm‐Surányi: Matematikai Versenytételek II. (Középiskola Szakköri Füzetek), Tankönyvkiadó, 1957. 26‐30. oldal. |