Feladat:	1005. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bach Katalin ,  Bácsy Zs. ,  Biborka T. ,  Bollobás B. ,  Bornes Klára ,  Csepregi Sz. ,  Csikor Ferenc ,  Czékus L. ,  Durst I. ,  Farkas Z. ,  Fejes L. ,  Frint G. ,  Fritz J. ,  Gagyi Pálffy A. ,  Gál J. ,  Gazsi L. ,  Góth L. ,  Grüner Gy. ,  Holop A. ,  Homitzky L. ,  Horváth S. ,  Kéry G. ,  Kiss A. ,  Klimó J. ,  Knuth E. ,  Kóta G. ,  Kövessi Nóra ,  Máté A. ,  Máté Zs. ,  Miklóssy Endre ,  Molnár E. ,  Náray Szabó G. ,  Páska Cs. ,  Salamin P. ,  Sólyom I. ,  Székely J. ,  Tihanyi A. ,  Várady G. ,  Zalán P.
Füzet:	1960/október, 60 - 61. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/november: 1005. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Vegyük észre, hogy az észlelési időpont óra és perc adata az aznapi napkelte és napnyugta időpontjának számtani közepe: (5 óra 31 perc+17 óra 41 perc)/2=11 óra 36 perc. Ebből jó megközelitéssel adódik, hogy az észleléskor a Nap $Á$-ban éppen delel, vagyis a napsugarak benne vannak $Á$ délkörének síkjában. Ezt a megállapítást az $ÁC$ távolság elég rövid voltára tekintettel $C$-re, továbbá $F$-re is érvényesnek vehetjük, így $F$ a $C$ csúcs délkörének síkjában van, a térképen(a vetületben) pedig a $C$-n átmenő dél-észak irányú egyenesen lenne a helye. Másrészt $F$ az $Á$ és $P$-n átmenő és a tó síkjára, vagyis a térkép síkjára merőleges síkban is benne van, így $F$ vetülete $ÁP$-n is rajta van. A szeptember 23-i dátum szerint az észlelés napján a (földi) Egyenlítő síkja átmegy a Napon, deleléskor az Egyenlítő pontjaiban a napsugarak ${90}^{\circ }$-os szögben esnek a vízszintesre, egyszersmind a Föld forgástengelyére, és ezért a ${49}^{\circ }$-os szélességi körön a vízszintessel ${90}^{\circ }-{49}^{\circ }={41}^{\circ }$-os szöget zárnak be. Ezekből meghatározhatjuk $F$-nek előbb a térképen levő helyzetét ($Á$-tól és $C$-től való távolságát), majd a tó színe feletti magasságát. A tó színének síkján levő vetületeket 0-indexszel jelölve az ${Á}_0$ $C_0$ $F_0$ háromszög $C_0$ és $F_0$-nál fekvő szögei és ${Á}_0{C}_0$, ${Á}_0{F}_0$-nak az ${Á}_0$-beli földrajzi dél ‐ észak vonallal bezárt szögei váltószögek: $\begin{array}{c}{\displaystyle {Á}_0{C}_0{F}_0\sphericalangle =2^{\circ }+{71}^{\circ }={73}^{\circ }\mathrm{,}{Á}_0{F}_0{C}_0\sphericalangle =-2^{\circ }+{64}^{\circ }={62}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ ezért $C_0{Á}_0{F}_0\sphericalangle ={45}^{\circ }$, így a szinusz-tétellel ${Á}_0{F}_0=2200\text{sin}{73}^{\circ }/\text{sin}{62}^{\circ }\approx 2383\text{ m}$, és hasonlóan $C_0{F}_0\approx 1762\text{ m}$. ‐ Ezek alapján a $C$ és $F$-en átmenő függőleges síkban $C$ és $F$ magasságkülönbsége $C_0{F}_0\cdot \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg </span>}{41}^{\circ }\approx 1532\text{ m}$, így $F$ magassága és $F^{*}$ tükörképének mélysége a tó színéhez képest 1532+550=2082 m. Végül (a fényvisszaverődés törvényei alapján) az $Á$ és $F$-en átmenő függőleges síkban az $Á{Á}_{0}P$ és $F^{*}{F}_{0}P$ hasonló derékszögű háromszögekből $Á$ magassága a tó felett $m_{Á}\approx 2082\cdot {Á}_{0}P/P{F}_0\approx 420\text{ m}$, ‐ ugyanis $P{F}_0={Á}_0{F}_0-{Á}_0{P}_0\approx 1983\text{ m}$.   Miklóssy Endre (Szolnok, Verseghy F. g. IV. o. t.)   Megjegyzések. 1. Több dolgozat 419,9 m-t, vagy valamely ettől kevéssé eltérő értéket adott meg magasságnak. Túlzó pontosság ebben deciméterig menni, sőt még pl. 419 m sem volna reális. Ugyanis $F$ nem lehet pont, de méter-rendűnél is nagyobb, ha a feladatban közölt tények valóban észlelhetők ($F$ árnyéka a tőle több mint 2 km-re levő $C$-n, és ennek megfigyelése $Á$-ból, több mint 2 km-ről). Másrészt a térképről vett távolságok, az iránytűvel mért szögek és a deklinációadat, valamint az idő adatok is kerekítettek (feltehetően 100 m-re, legfeljebb 10 m-re, ill. egész fokra, egész időpercre). A kerekítések teszik elfogadhatóvá azt az egyszerűsítő feltevést is, hogy a Nap $Á$-ban és $C$-ben egyszerre delel, mert egyszerű becslés szerint ez a különbség kb. 6 másodperc, ami jóval kisebb az időadatokban lehetséges hibáknál. Kissé azok is túloztak, akik szerint a Nap pontosan az észlelési időpontban delel; mert a Ráktérítőtől északra nyáron és ősszel a nappal délelőtti fele kissé hosszabb a délutáninál (naptárak szering a nappal tartama ez idő tájt 3 naponként átlag 10 perccel csökken, vagyis egy negyed nap alatt közel 1 perccel), végül a dátum csak azt biztosítja, hogy a napsugarak valamikor az észlelés táján merőlegesen érik a Föld tengelyét (szept. 23 és márc. 21 táján a Föld és a Nap középpontjait összekötő egyenesnek a Föld tengelyével bezárt szöge naponta kb. $0\mathrm{,}{4}^{\circ }$-kal változik meg). Bár a hibára pontos becslést természetesen nem adhatunk, mindezek eléggé indokolják, hogy eredményünk pontosságát túl ne értékeljük. 2. Ellentmondásnak látszik, hogy a ,,napéjegyenlőség'' napján a Nap 12 óra 10 perc hosszat látható az égen; ez azonban a fénytöréssel megmagyarázható.   Csikor Ferenc (Budapest, I. István g. IV. o. t.)