A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A feltevésnél fogva egyik szög koszinusza sem 0, így a bizonyítandó | | egyenlőtlenség mindkét oldalát oszthatjuk a koszinuszok szorzatával, ezért elegendő azt megmutatni, hogy Ismeretes, hogy a bármely nem derékszögű háromszög szögeinek tangenséből képezett összeg és szorzat egyenlők: | | (2) | Belátható ez a tangens-függvény összeadási tételéből, az összefüggésre támaszkodva, ha vesszük a | | egyenlőség-sorozat szélső kifejezéseinek egyenlőségét, és azt átrendezzük.) Feltevésünknél fogva mindhárom tangens pozitív, így számtani közepük nem kisebb a mértani közepüknél: | | Innen az összeget (2) alapján a szorzattal helyettesítve, majd köbreemeléssel és osztással, végül a jobb oldal csökkentésével adódik, ebből pedig négyzetgyökvonással (1)-re jutunk. (Felhasználtuk, hogy két pozitív szám közül a nagyobbnak a köbe nagyobb.)
Szoboszlai Levente (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. III. o. t.) | Megjegyzés. A feladat állítása minden háromszögre érvényes. Ugyanis derékszögű háromszögekre a koszinuszok szorzata 0, tompaszögűekre pedig negatív ‐ mert a tompaszög koszinusza negatív ‐, viszont a háromszög bármelyik szögének szinusza pozitív, és így ugyanez áll szorzatukra is.
Náray Szabó Gábor (Budapest, József A. g. III. o. t.) | II. megoldás: Ismert tétel, hogy egy adott kör köré írt háromszögek közül a szabályos háromszögnek van a legkisebb kerülete. Ennek felhasználásával az állítás így is bizonyítható: Legyenek egy tetszés szerinti hegyesszögű háromszög szögei , , . Mérjük fel egy sugarú kör sugarától kezdve egymás után az , , , , , nagyságú szögeket úgy, hogy valamennyi szög csúcsa az középpont legyen. 1. ábra Ekkor a második szög második szára -be esik. Messe -t a szomszédos és szögek közös szára -ben, a szomszédos és szögek közös szára -ban. Húzzuk meg érintőit , , -ban. Nyilvánvaló, hogy e három érintő a szomszédos , , ill. , ill. , nagyságú szögek közös szárát páronkint ugyanazon , ill. , ill. pontban metszi (1. ábra), és hogy a háromszög köré van írva, ezért , , . A létrejött derékszögű háromszögekből | | (3) | ahol a háromszög kerületének felét jelöli. Másrészt az idézett tétel szerint (-val jelölve a köré írható szabályos háromszög oldalát): amiből (2) és (3) figyelembevételével (1) adódik.
Krámli András (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.) | Megjegyzés. A felhasznált tétel akárhány oldalú sokszögre érvényes, háromszögre az alábbiak szerint látható be. folytán elég megmutatni, hogy adott kör köré irt háromszögek közül a szabályos területe a legkisebb. Legyen egy köré irt szabályos háromszög oldala , körülírt köre (amely korcentrkus -val) (2. ábra). 2. ábra Egy a köré írt, tetszés szerinti, nem szabályos háromszög oldalegyeneseinek ugyancsak hosszúságú húrjai esnek -be, így abból ugyanakkora körszeleteket és köríveket metszenek le, mint a szabályos háromszög oldalai, a körívek hossza egyenlő a kör kerületének harmadrészével. A lemetszett ívek részben fedik egymást, különben szabályos háromszög volna. Ezért a lemetszett körszeletek is részben fedik egymást, így pedig az háromszögnek már a -be eső része nagyobb területű, mint az oldalú szabályos háromszög (éspedig annyival nagyobb, amennyi a három körszelet által kétszer lefedett terület).
Lásd Fejes Tóth László: Körbe és kör köré írt sokszögekről. Matematikai Lapok, X. évf. (1959), 23‐25. l. |
|