Kezdőlap


Feladat:	1003. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Henrik , Veres Gyula
Füzet:	1960/október, 56 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/november: 1003. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A bal oldal két szélső tagjának, ill. két közbülső tagjának összegét a

\begin{matrix} tg u + tg v = \frac{sin u}{cos u} + \frac{sin v}{cos v} = \frac{sin u cos v + cos u sin v}{cos u cos v} = \frac{sin (u + v)}{cos u cos v} \end{matrix}

azonosság alapján átalakítva egyenletünk így alakul:

\begin{matrix} (tg x + tg 4 x) + (tg 2 x + tg 3 x) = \frac{sin 5 x}{cos x cos 4 x} + \frac{sin 5 x}{cos 2 x cos 3 x} = \\ = sin 5 x \frac{cos x cos 4 x + cos 2 x cos 3 x}{cos x cos 2 x cos 3 x cos 4 x} = 0. \end{matrix}

A számlálóban

sin 2 u = 2 sin u cos u

és

cos 2 u = 2 cos^{2} u - 1 = 1 - 2 sin^{2} u

alapján

\begin{matrix} cos 3 x & = cos (2 x + x) + cos 2 x cos x - sin 2 x sin x = \\ = cos x (cos 2 x - 2 sin^{2} x) = cos x [cos 2 x - (1 - cos 2 x)] = \\ = cos x (2 cos 2 x - 1), \\ cos 4 x & = cos 2 \cdot 2 x = 2 cos^{2} 2 x - 1. \end{matrix}

Ezek alapján

cos x

-szel egyszerűsítve (ami

\neq 0

, mert

cos x = 0

esetén

tg x

nincs értelmezve)

\begin{matrix} sin 5 x \frac{cos 4 x + cos 2 x (2 cos 2 x - 1)}{cos 2 x cos 3 x cos 4 x} = \frac{sin 5 x (4 cos^{2} 2 x - cos 2 x - 1)}{cos 2 x cos 3 x cos 4 x} = 0. \end{matrix}

Eszerint

x

csak olyan szög lehet, amely mellett a számláló 0, vagyis amely kielégíti a

\begin{matrix} a) sin 5 x = 0 és b) 4 cos^{2} 2 x - cos 2 x - 1 = 0 \end{matrix}

egyenleteknek legalább egyikét. És minden ilyen szög gyöke az adott egyenletnek (hacsak vele a nevező nem válik zérussá, amikor az adott egyenlet legalább egy tagjának nincs értelme), mert csak ekvivalens átalakításokat végeztünk.
Végső soron elég lesz egy

180^{\circ}

hosszúságú intervallumba, pl. a

- 90^{\circ}

és

90^{\circ}

közé eső gyököket megadni (a végpontokat mellőzve, mivel ott

tg x

úgy sincs értelmezve), mert a

tg x

függvény legkisebb periódusa

180^{\circ}

, a

tg 2 x

tg 3 x

tg 4 x

legkisebb periódusa pedig

180^{\circ}

-nak fele, 3-ada, 4-ede, tehát

180^{\circ}

az egyenlet bal oldala mindnégy tagjának periódusa; viszont b) megoldásában tekintetbe kell vennünk, hogy a koszinusz-függvény legkisebb periódusa

360^{\circ}

.
Így a) gyökei

5 x = k \cdot 180^{\circ}

x = k \cdot 36^{\circ}

-ból

0^{\circ}

36^{\circ}

72^{\circ}

108^{\circ}

144^{\circ}

; és b) olyan gyökei, amelyekre

- 180^{\circ} < 2 x < 180^{\circ}

\begin{matrix} cos 2 x = \frac{1 \pm \sqrt[]{17}}{8} \approx {\begin{matrix} + 0, 6404 \\ - 0, 3904 \end{matrix} -ből \end{matrix}

\begin{matrix} 2 x \approx {\begin{matrix} \pm 50, 18^{\circ}, \\ \pm 112, 98^{\circ}, \end{matrix} x \approx {\begin{matrix} \pm 25, 09^{\circ}, \\ \pm 56, 49^{\circ} . \end{matrix} \end{matrix}

Ezek szerint abszolút értékük növekvő sorrendjében csak a következő szögek lehetnek gyökei az egyenletnek:

\begin{matrix} 0^{\circ}, \pm 25, 09^{\circ}, \pm 36^{\circ}, \pm 56, 49^{\circ}, \pm 72^{\circ} . \end{matrix}

Mindegyikük mellett az egyenlet mindegyik tagja értelmezve van, ezért mindegyik valóban gyök. Ezúttal próbát csak a számítások ellenőrzése céljára végzünk, ebben elég pl. a

0^{\circ}

és

90^{\circ}

közti értékeket kipróbálni, mert ha

x

gyöke az egyenletnek, akkor nyilván

- x

is gyök.

Veres Gyula (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. III. o. t.)

II. megoldás: Fejezzük ki

tg 2 x

tg 3 x

tg 4 x

-et

tg x = z

-vel:

\begin{matrix} tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x} = \frac{2 z}{1 - z^{2}}, \\ tg 4 x = \frac{2 tg 2 x}{1 - {tg}^{2} 2 x} = \frac{\frac{4 z}{1 - z^{2}}}{1 - \frac{4 z^{2}}{{(1 - z^{2})}^{2}}} = \frac{4 z (1 - z^{2})}{1 - 6 z^{2} + z^{4}}, \\ tg 3 x = tg (2 x + x) = \frac{tg 2 x + tg x}{1 - tg x tg 2 x} = \frac{\frac{2 z}{1 - z^{2}} + z}{1 - \frac{2 z^{2}}{1 - z^{2}}} = \frac{z (3 - z^{2})}{1 - 3 z^{2}}, \end{matrix}

így az egyenlet:

\begin{matrix} z (1 + \frac{2}{1 - z^{2}} + \frac{3 - z^{2}}{1 - 3 z^{2}} + \frac{4 - 4 z^{2}}{1 - 6 z^{2} + z^{4}}) = 0. \end{matrix}

(1)

Eszerint egy gyök

z_{1} = 0

és ebből a nyitott (

- 90^{\circ}

90^{\circ}

) intervallumban

x_{1} = 0^{\circ}

, a további gyökök pedig (1) négytagújából adódnak. Ebben ismét páronkénti összeadással (szélsők, közbülsők) a két összegnek közös tényezője van:

\begin{matrix} \frac{5 - 10 z^{2} + z^{4}}{1 - 6 z^{2} + z^{4}} + \frac{5 - 10 z^{2} + z^{4}}{(1 - z^{2}) (1 - 3 z^{2})} = \\ = (5 - 10 z^{2} + z^{4}) (\frac{1}{1 - 6 z^{2} + z^{4}} + \frac{1}{1 - 4 z^{2} + 3 z^{4}}) = 0, \end{matrix}

és ez lehetővé teszi a gyökök könnyű kiszámítását.

\begin{matrix} z^{4} - 10 z^{2} + 5 = 0 -ból z = \pm \sqrt[]{\frac{10 \mp \sqrt[]{80}}{2}} = \pm \sqrt[]{5 \mp 2 \sqrt[]{5}} \approx {\begin{matrix} \pm 0, 7265, \\ \pm 3, 078, \end{matrix} \end{matrix}

és így

x_{2,3} \approx \pm 36, 0^{\circ}, x_{4,5} \approx 72, 0^{\circ}

; másrészt a kéttagú összegből

\begin{matrix} \frac{2 - 10 z^{2} + 4 z^{4}}{(1 - 6 z^{2} + z^{4}) (1 - 4 z^{2} + 3 z^{4})} = 0, azaz 2 - 10 z^{2} + 4 z^{4} = 0 -ból \end{matrix}

\begin{matrix} z = \pm \sqrt[]{5 \mp \sqrt[]{17}} / 2, z_{1} \approx \pm 0, 4682, z_{2} \approx \pm 1, 510, \end{matrix}

tehát

x_{6,7} \approx \pm 25, 09^{\circ}, x_{8,9} \approx 56, 48^{\circ}

, megegyezésben az I. megoldással.

Farkas Henrik (Eger, Dobó I. g. IV. o. t.)