Feladat: 1002. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Farkas Zoltán ,  Sebestyén Zoltán 
Füzet: 1960/május, 174. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Derékszögű háromszögek geometriája, Oszthatósági feladatok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/november: 1002. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rendezzük az adott összefüggést így:

a2-b2=c[(a-c)2-(b-c)2]=c(a-b)(a+b-2c).
Az a≠b feltevés alapján a-b-vel osztva
a+b=c(a+b)-2c2,
és innen
a+b=2c2c-1=2[(c-1)+1]2c-1=2(c-1)+4+2c-1==2c+2+2c-1.(1)
Ez az egyenlőség egész a, b, c-vel csak úgy állhat fenn, ha c-1 osztója 2-nek, vagyis c-1 értéke vagy 1, vagy 2.
Az első esetben c=2 és (1)-ből a+b=8, másrészt a háromszög-egyenlőtlenségből |a-b|<c=2, végül a feltevésből a≠b, azaz a-b≠0. E három követelmény nem teljesíthető, mert a+b párosságából következik, hogy a-b is páros, és c=2-nél kisebb abszolút értékű páros szám csak a 0.
A második esetben hasonlóan c=3, a+b=9, 0<|a-b|<3, és a+b páratlansága folytán a-b is páratlan. Eszerint |a-b|=1, amiből a=5, b=4 (ugyanis az adott összefüggés a, b-ben szimmetrikus, feltehetjük, hogy a>b).
Így a háromszög egyértelműen meg van határozva. Ismeretes, hogy a 3, 4, 5 egységnyi oldalakkal bíró háromszög derékszögű (,,egyiptomi háromszög''), területe a c=3 és b=4 befogókból 6 egység, és így legkisebb, az a=5 átfogóhoz tartozó magassága 12/5=2,4 egység.
 

Sebestyén Zoltán (Celldömölk, Berzsenyi D. Gimn. II. o. t.)

 

Megjegyzés. A c oldal értékére szóba jövő számokat (1)-nek a+b=2c2/(c-1) alakjából is megkaphatjuk. Ugyanis c2=cc és c-1 relatív prímek, ígyc-1 osztója 2-nek.
 

Farkas Zoltán (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn. II. o. t.)