Feladat: 1001. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alpár A. ,  Biborka T. ,  Bollobás B. ,  Bornes Klára ,  Csikor F. ,  Czékus L. ,  Farkas Z. ,  Frint G. ,  Fritz J. ,  Gagyi Pálffy A. ,  Gazsi L. ,  Grüner Gy. ,  Hahn J. ,  Hajna J. ,  Holop A. ,  Horváth S. ,  Komlós J. ,  Komlóssy Gy. ,  Marót Ildikó ,  Marton Katalin ,  Miklóssy E. ,  Molnár E. ,  Noszticzius Z. ,  Páska Cs. ,  Pinkert András ,  Salamin P. ,  Sólyom L. ,  Sós T. ,  Tihanyi A. ,  Várady G. 
Füzet: 1960/május, 170 - 173. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Mozgási geometria, Koszinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/november: 1001. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az ABC háromszög oldalainak aránya 3:4:5, ezért a háromszög C-nél levő szöge derékszög, továbbá a szokásos jelölésekkel sinα=cosβ=0,6, cosα=0,8 A háromszög kerülete 360m, C és D távolsága a kerületen mérve 180m, így a mozgó pontok soha sincsenek a háromszög ugyanazon oldalán és egyszerre haladnak át egymás kiinduló pontján. Elég a mozgást eddig az áthaladásig vizsgálni, a további mozgás ismétlése az addiginak M és N szerepének megcserélésével, ami nem lényeges módosítás.

 
 
1. ábra
 

Válasszuk egységnek azt az időtartamot, amennyi alatt a pontok 1m utat megtesznek. Így a mozgás kezdetétől eltelt idő és az addig megtett út mértékszámai megegyeznek, és a mozgásokat t=0-tól t=180-ig kell vizsgálnunk.
Ezt az időközt a mozgó pontoknak a háromszög csúcsaiban bekövetkező irányváltozásai miatt részekre kell bontanunk. M az A-ban, N pedig B-ben változtat irányt éspedig más-más időpontban: t=120-kor, ill. t=90-kor, így három rész-időszak adódik: I: (0;90), II: (90,120), III: (120;180). Ezekben M és N rendre a b, c, a b, a és a c, a oldalpárokon van, ezért d távolságukat rendre az MNA, az MNC, az MNB háromszögből számíthatjuk. Bármely t időpontra megadhatjuk M és N távolságát e háromszögek állandó csúcsától, továbbá ismerjük az állandó csúcsoknál levő szögeket, ezért MN-t, ill. MN2-et a koszinusz-tétellel fejezzük ki.
I-ben  CM=t,AM=120-t,ésAN=60+t,ennélfogvaMNA-ból:
d2=(120-t)2+(60+t)2-2⋅0,8(120-t)(60+t)=(1)=3,6t2-216t+6480=3,6(t-30)2+3240.

II-ben továbbra is CM=t, másrészt BN=t-90, CN=90-BN=180-t, tehát
d2=t2+(180-t)2=2(t-90)2+16200.(2)

III-ban pedig AM=t-120, és így BM=150-AM=270-t, másrészt BN=t-90, ezért
d2=(270-t)2+(t-90)2-2⋅0,6(270-t)(t-90)=(3)=3,2(180-t)2+6480.

Az (1) másodfokú függvény a (0;30) részidőszakban csökken, (30;90)-ben nő, t=30-kor minimuma van, ekkor d303240≈56,9m  , t=0-kor d0=6480≈80,5m, t=90-kor d90=16200≈127,3m.
A (2) másodfokú függvénynek t=90-kor, az érvényességi időszak kezdőpontjában van minimuma és abból d90 egyenlő az (1)-ből kapott értékkel; a függvény értéke az időszak folyamán nő, legnagyobb értéke d120=1800≈134,2m.
Végül a (3) másodfokú függvény az érvényességi időszak egész folyamán csökken, és így t=180-nál minimuma van: d180=6480(=d0).
Ezek szerint M és N távolsága t=30-kor a legkisebb, t=120-kor a legnagyobb.
2. Az MN irány változásának leírásához vegyük alapiránynak CA irányát. Az MN és CA közti φ szöget mindegyik időszakban tangense alapján számítjuk, rendre az NMN', az NMC, ill. az NMM'' derékszögű háromszögből, ahol N' az N vetülete CA-n, M'' az M vetülete CB-n; III-ban felhasználjuk M-nek CA-n levő M' vetületét is.
I-ben AN=60+t, így AN'=0,8AN=48+0,8t, N'N=0,6AN=36+0,6t, másrészt CM=t, ezért MN'=CA-CM-AN'=72-1,8t, és ezekből tgφ=N'N/MN'=(60+t)(120-3t).
II-ben tgφ=-CN/CM=-(180-t)/t=1-180/t.
III-ban CN=180-t, AM=t-120, M'M=CM''=0,6AM=0,6t-72, AM'=0,8AM=0,8t-96, M''M=CM'=216-0,8t, ezekből M''N=CN-CM''=252-1,6t, és így tgφ=-M''N/M''M=(2t-315)/(270-t).
Ezek alapján φ kívánt értékei és a lépésről lépésre beállott változások a következők:
t     tg  φ   00φ     változásI.1110  111/2   126,6∘     10  117/9   137,9  11,3∘  20  114/3   153,1    15,2  30  11113  171,6    18,5  40  1nincs  190,0    18,4  50  -11/3     105,3    15,3  60  11-2     116,6    11,3  70  -13/9     124,7  18,1  80  -7/6     130,6  15,9  90  11-1     135,0  14,4t     tg  φ   φ     változásII.11190  -1   135,0∘     III.11100  -8/10     141,3  6,3∘  110  -7/11     147,5    6,2  120  -1/2     153,4    5,9  130  -11/28     158,6    5,2  140  -7/26     164,9    6,3  150  -1/8     172,9    8,0  160  +1/22     182,6    9,7  170  1/4     194,0    11,4  180  1/2     206,6    12,6
 
2. ábra
 

Ezek szerint az irány változása nem egyenletes, leggyorsabbnak látszik a változás t=30 körül, amikor d a legkisebb, és leglassúbbnak t=120 körül, amikor d a legnagyobb.
 

Marót Ildikó (Budapest, Veres Pálné lg. IV. o. t.)

 

Megjegyzések. 1. Az MN irány változásának pusztán a grafikon szemléletére alapított vizsgálata néhány dolgozat megjegyzése szerint nem kielégítő, nem elég pontos, ,,kísérleti'' jellege van. Ez az aggály a középiskolák tananyagát és lapunk szokásos feladatait tekintve megérthető, de másrészt vitatható is. A matematika történetében is előfordult, hogy egyes tudósok (természetesen nagyobb kérdésekben) elzárkóztak ,,közelítő'', ,,grafikus'', ,,mechanikus'' eljárások alkalmazása elől, a fejlődés azonban ezt az álláspontot túlhaladta. Számos közelítő eljárásból idővel pontos módszerek alakultak ki, az ún. felsőbb matematika módszereivel kérdésünk is pontosan vizsgálható. Ez azonban nem zárja ki a fenti, kevesebb ismeretet felhasználó megállapítás létjogosultságát. ‐ A kérdést éppen azért vetettük fel, hogy olvasóink lássanak példát egyszerű megállapítások kimondására grafikonjával megadott függvény esetében. 2. Annál kevésbé elvetendő a fenti eljárás, mert pontossága további pontoknak a grafikonba való beiktatásával tetszés szerint fokozható. Efféle esetekben ugyanis ‐ miután a változásokról nagy vonásokban képet kaptunk, a több figyelmet érdemlő szakaszokat részletesebben kidolgozhatjuk. Erre példaként bemutatjuk a fent leggyorsabb, ill. leglassúbb változásúnak adódott pontok egy-egy környezetének 2 egységenkénti sűrítését, ,,finomítását''. Ezek megerősítik fenti megállapításunkat.
t   φ     változás20  153,13∘     22    56,63  13,50∘  24    60,26    3,63  26  63,97    3,71  28    67,76  3,79  30  71,57    3,81  32    75,38    3,81  34  79,16    3,78  36    82,87  3,71  38    86,50    3,63  40    90,00    3,50t1   φ     változás1101147,53∘  112    148,73  11,20∘  114    149,93    1,20  116    151,11    1,18  118    152,28    1,17  III.11  120    153,43    1,15  122  154,37    0,94  124    155,35    0,98  126    156,37    1,02  128    157,44    1,07  130    158,55    1,11

3. Több dolgozat szerint grafikonjaink ,,nem folytonosak''. A folytonosságnak a felsőbb matematikában adott pontos fogalma szerint a grafikonok folytonosak ‐ és szemléletesen is, ha azt tekintjük, hogy az íróeszköz felemelése nélkül megrajzolhatók, ‐ Amit e dolgozatok mondani kívánnak, azt így szokás kifejezni: a csatlakozási pontokban törésük van. Az irányt ábrázoló grafikonon ez alig látszik, de a táblázatokból kivehető, hogy t=90-nél a változás mértéke kissé nagyobb lesz, t=120-nál pedig kisebbé válik.
4. Több versenyző nem φ változásáról készített grafikont, hanem tgφ-éről. Ez a kitűzött kérdés szempontjából nem használható, mert belőle nem olvashatók ki a fenti megállapítások, másrészt mert nem lehet teljes, harmadrészt mert az alapirány szükségképpeni megválasztása folytán egy önkényes, de a kérdés szempontjából lényegtelen elemnek jelentős szerepet juttat. Ugyanis az MN irányra eltolás erejéig akkor is a közölt grafikon adódik, ha alapiránynak más, pl. az ugyancsak kézenfekvő CD irányt vesszük, amelyre tgφ0=1/2, ‐ viszont tg(φ-φ0) grafikonja egészen más képet mutatna; ennek kifejezése az I‐III időszakokban rendre:
t/(60-t),(t-360)/(3t-180),-4+t/45.

5. M és N távolságának és összekötő irányának változását egy más grafikus módszerrel úgy is leírhatjuk, mintha M állna, N pedig az M-hez viszonyított sebességével: c'=cN-cM-mel mozogna (a sebességeket természetesen iránnyal együtt, vektoriálisan értve). c' az I‐III időszakokban külön-külön állandó, ezért N-nek a C-ben állónak tekintett M-hez képest leírt pályája megrajzolásához elég N-nek változó N't helyzetét t=90, 120, 180, 270, 300, 360-ra megszerkeszteni CN't→=CNt→-CMt→ alapján, ezekből a pályát az egymás utáni pontok egyenes összekötésével kapjuk.
 
 
3. ábra
 

A 3. ábrából bármely t-re leolvashatjuk d és φ értékét.
 

Pinkert András (Budapest, Eötvös J. g. III. o. t.)

 

6. A 3. ábrába N't-nek t=0,10,20,22,24,...,38,40,50,60-beli helyzetét berajzolva szemléletesen igazolódik a táblázatok t=30 körüli változás-adatainak (a kerekítés erejéig való) szimmetriája. Ez természetesen számítással is igazolható.