Kezdőlap


Feladat:	1000. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kövessi Nóra , Salamin Pál
Füzet:	1960/május, 168 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számkörök, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/november: 1000. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tekintetbe vett hatványok a kitevők növekedő sorrendjében rendezve növekedő mértani sorozatot alkotnak, mert a hányados: $c > 1$ . Másrészt $c$ alig haladja meg az $1$ értéket ‐ a tagról tagra való növekedés kisebb $3 %$ -nál ‐, azért a növekedés lassúnak mondható. A hatványok kiszámításáról természetesen nem lehet szó, de erre nincs is szükség. Ugyanis kezdő számjegyüket majdnem minden esetben megállapíthatjuk logaritmusokkal számított közelítő értékeik alapján.
A négyjegyű táblázatból $lg c = 0, 0100$ , ennélfogva az utolsó tagra $lg c^{100} = 1, 00$ , vagyis $c^{100}$ közelítő értéke éppen $10$ , az első kétjegyű egész szám. Eszerint $c^{100}$ kivételével minden hatvány bennünket érdeklő első jegye megegyezik a szám egész részével, ami legfeljebb $9$ . Így elég azt megállapítanunk, hány hatvány esik $1$ és $2,2$ és $3, ...,8$ és $9$ közé. Pl. $1$ -essel kezdődnek azok a $c^{k}$ hatványok, amelyekre $1 < c^{k} < 2$ . Vagy, mivel nagyobb számnak (tizes alapú) logaritmusa nagyobb (és fordítva: nagyobb logaritmushoz nagyobb szám tartozik), azért

\begin{matrix} lg 1 = 0 < k lg c = 0, 01 k < lg 2 = 0, 3010. \end{matrix}

Innen osztással

\begin{matrix} 0 < k < 30, 1, \end{matrix}

eszerint

c

-nek első

30

hatványa esik

1

és

2

közé, kezdődik

1

-es jeggyel, mert

c^{30, 1} \approx 2

. Hasonlóan kapjuk a

3,4, ...,9

számok logaritmusának

lg c = 0, 01

-dal való osztásával, hogy azoknak az

x

kitevőknek, amelyekre

c^{x}

éppen egyenlő

3

-mal,

4

-gyel,

...,9

-cel, közelítő értékük rendre a következő:

\begin{matrix} x \approx 47, 7; 60, 2; 69, 9; 77, 8; 84, 5; 90, 3; 95, 4. \end{matrix}

Eszerint pl.

c^{47} < 3

, de már

c^{48} > 3

, másrészt

c^{31} > 2

, tehát

47 - 30 = 17

hatvány kezdődik

2

-es jeggyel. A további

x

kitevő értékek mindegyikéből ugyanígy megállapítható, hogy a

4,5, ...,9

számoknak mint a

c^{x}

hatvány értékének átlépése mely két egész kitevő között történik, és evvel az, hogy (

k < 100

esetén) hány

c^{k}

hatvány kezdődik

3

-as,

4

-es,

...,8

-as jeggyel.
Nem tudjuk viszont eldönteni, hogy mely

k

-nál történik a

10

szám átlépése, a kezdő számjegynek

9

-ről

1

-re való cserélődése. Ugyanis a

lg c \approx 0, 0100

adatról biztos, hogy kerekített, mert

10^{0, 0100} =^{100} \sqrt[]{10}

irracionális szám, tehát nem egyenlő

c

-vel, mert ez véges tizedes tört, és így racionális. Mármost ha a

0, 0100

szám

lg c

-nek felkerekített értéke, akkor

100 lg c

kisebb

1

-nél,

c^{100}

kisebb

10

-nél, és kezdő jegye

9

-es; ha pedig

0, 0100

lekerekített érték, akkor

c^{100}

kezdő jegye

1

-es. Mindezek szerint azt mondhatjuk, hogy a tekintetbe vett hatványok közül az

\begin{matrix} 1 -es, 2 -es, 3 -as, 4 -es, 5 -ös,,6 -os, 7 -es,,8 -as, 9 -es \end{matrix}

jeggyel kezdődők száma

\begin{matrix} 30 v. 31 17 13 9 8 7 6 5 5 v. 4. \end{matrix}

Salamin Pál (Budapest, Rákóczi F. Gimn. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A mantisszatáblázat

lg 1, 023 = 0, 0099

és

lg 1, 024 = 0, 0103

adataiból interpolálással

lg c

-re

5

jegyre

0, 01002

adódik, ami szerint a használt

0, 0100

érték lekerekítettnek látszik. Mégsem tekinthetjük ezt biztosnak, mert ha mindkét használt táblázat adat erősen, ‐ maximálisan

0, 5 \cdot 10^{- 4}

-nel ‐ felkerekített volna, akkor a

0, 00985

és

0, 01025

adatokból

lg c

0, 5 \cdot 10^{- 4}

-nel kisebbnek,

0, 00997

-nek adódnék, vagyis a

0, 0100

érték felkerekített volna.
Próbáljunk meg valamit mégis megállapítani a felhasznált adatok kerekítésének irányáról a táblázatnak a környezetükben fekvő, azokat megelőző és követő adataiból. A táblázat bármelyik

1 - 2

, esetleg

3

egymás utáni sorát tekintve a táblabeli különbségek vagy egyenlők, vagy

10^{- 4}

-nel, táblázatunk egységével térnek el egymástól, és ezt kizárólag a kerekítések következményének tekinthetjük. (Az egész táblázaton végigtekintve pedig a különbségek

43

-ról

4

-re csökkennek.) Ezért kézenfekvő azt mondani, hogy ha egy különbség nagyobb az előtte és utána adódó különbségeknél, akkor kisebbítendője, a táblázat későbbi mantisszája felkerekített, kivonandója, a korábbi mantissza pedig lekerekített.
Ebben az értelemben a táblázat

lg 1, 022 = 0, 0095

és

lg 1, 027 = 0, 0116

adatai felkerekítettnek, a

lg 1, 026 = 0, 0111

adat lekerekítettnek tekinthető. Másrészt az

1, 022

-hez és

1, 027

-hez tartozó mantisszákból

5

egymás utáni különbség összege

116 - 95 = 21

-nek, egy átlagos különbség

4, 2

-nek adódik. Úgy látszik tehát, hogy a felkerekített adatok hiánya lépésenként kb.

0, 2

egységgel csökken, majd a lekerekített adatok többlete lépésenként

0, 2

egységgel növekszik. Valószínű tehát, hogy a táblázat

\begin{matrix} 0095 0099 0103 0107 0111 0116 \end{matrix}

adatának kerekítési iránya

\begin{matrix} felfelfelvagylelelefel \end{matrix}

Ezt a korábbiakkal egybevetve azt látjuk, hogy a

lg c = 0, 0100

érték egyaránt lehet fel- és lekerekített, próbálkozásunk nem sikerült.
2. Más lehetőségnek ígérkezik az előbbi kérdés eldöntésére ez: számítsuk ki (közvetlenül)

c^{2}

c^{3}

értékét és próbáljuk meghatározni

lg c

-t ezek logaritmusából, vagyis

lg c

kétszereséből, háromszorosából. Azonban ez az út sem hoz döntést:

c^{2} = 1, 04714 ..., c^{3} = 1, 07154 ..., c^{4} = 1, 096518 ...

, logaritmusául

0, 0200

0, 0300

0, 0400

adódik és a fenti elgondolás szerint ismét egyik kerekítési irány sem adódik lehetetlennek.
3. Hatjegyű mantissza táblázatból

lg 1, 0233 = 0, 010 003

. Eszerint

c^{100}

nagyobb

10

-nél, másrészt látjuk, hogy a fenti próbálkozásokkal a kerekítési hiba kicsi volta miatt nem érhettünk célba.
4. Eredményünket így is kimondhatjuk: a

c

szám első

99

hatványa közül

\begin{matrix} 30, 47, 60, 69, 77, 84, 90, 95 \end{matrix}

olyan van, amelyben a kezdő számjegy kisebb, mint

\begin{matrix} 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. \end{matrix}

A létszámok közelítőleg arányosak

2,3, ...,9

logaritmusával. (Téves következtetések elkerülésére hangsúlyozzuk, hogy e tényben lényeges, hogy

c^{0} = 1

és

c^{100} \approx 10

.)
5. A feladatra a logarléc elvére (egy logaritmikus és egy egyenletes skála egymás mellé helyezésére) alapuló grafikus megoldást adott Kövessi Nóra (Budapest, Szilágyi E. lg. III. o. t.).
6. Egy dolgozat szerint ,,a példa rossz, mert

c^{100}

első jegyét nem lehet megállapítani''. ‐ Megértjük a versenyző nemtetszését, mert az iskolában legtöbbször olyan feladatok szerepelnek, amelyekre biztos, egyértelmű megoldás adható. Az életben azonban megesik, hogy be kell érnünk efféle válasszal: a kérdésnek erre és erre a részére jelenlegi tudásom (segédeszközeim) alapján nem tudok (nem lehet) feleletet adni.