Kezdőlap


Feladat:	998. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fritz József , Rába Ferenc
Füzet:	1960/május, 164 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Háromszögek nevezetes tételei, Beírt kör, Hozzáírt körök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/október: 998. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sugarak egyikének mértékszáma sem $0$ , ezért az adott összefüggés osztással így írható:

\begin{matrix} \frac{1}{r} + \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} = 1. \end{matrix}

(1)

Másrészt ismeretesek e sugaraknak a háromszög oldalaival, félkerületével és területével való alábbi összefüggései:

\begin{matrix} r = \frac{t}{s}, r_{1} = \frac{t}{s - a}, r_{2} = \frac{t}{s - b}, r_{3} = \frac{t}{s - c} . \end{matrix}

(2)

Ezeket (1)-be helyettesítve, rendezéssel

\begin{matrix} 4 s - (a + b + c) = 2 s = t, \end{matrix}

(3)

és ezt a (2)-ből adódó

r s = t

egyenlőséggel egybevetve

r = 2

. Másrészt (2)-ből a Heron-képlet figyelembevételével

\begin{matrix} r r_{1} r_{2} r_{3} = \frac{t^{4}}{s (s - a) (s - b) (s - c)} = t^{2}, \end{matrix}

(4)

ami négyzetszám, mert (3) szerint az oldalakkal együtt

t

is egész szám.

r = 2

alapján (1)-ből

\begin{matrix} \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

(5)

Feltehetjük, hogy

r_{1} \leq r_{2} \leq r_{3}

. Így (5) bal oldalába

r_{2}

és

r_{3}

helyett a nem nagyobb

r_{1}

-et írva ez az oldal növekszik, vagy változatlan marad:

\begin{matrix} \frac{3}{r_{1}} \geq \frac{1}{2}, amiből r_{1} \leq 6. \end{matrix}

Másrészt geometriai jelentésüknél és a párossági feltevésnél fogva

r_{1} > r

, tehát

r_{1} \geq 4

, így vagy

r_{1} = 6

, vagy

r_{1} = 4

.
Az első eset nem lehetséges, mert (5) alapján hasonlóan

r_{2} = r_{3} = 6

-ra vezet, és ezekkel (4) bal oldala

2 \cdot 6^{3} = 432

, ami nem négyzetszám. A második esetben

\begin{matrix} \frac{1}{r_{3}} + \frac{1}{r_{4}} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

(6)

Innen egyrészt

r_{3} > 4

, mert különben

r_{4}

nem lehet pozitív, másrészt az előbbiekhez hasonlóan

r_{3} \leq 8

, tehát vagy

r_{3} = 8

, vagy

r_{3} = 6

. Ezek közül az első esetben

r_{4} = 8

, és (4) bal oldala nem teljes négyzet, tehát ilyen megoldás nincs.
Az

r_{3} = 6

esetben (6)-ból

r_{4} = 12

, így (4)-ből

t = \sqrt[]{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 12} = 24 (t = - 24

nem felel meg), folytatólag (2)-ből:

\begin{matrix} s = 12, s - a = 6, s - b = 4, s - c = 2. \end{matrix}

Így a három oldalra négy egyenletből álló rendszert kaptunk. Ez megoldható, nem ellentmondó, mert az utóbbi három egyenlet összege az első egyenletre vezet:

\begin{matrix} 3 s - (a + b + c) = s = 6 + 4 + 2 = 12, \end{matrix}

másrészt az oldalakra egész értékrendszert ad, mert az utóbbi három egyenletet az elsőből levonva:

\begin{matrix} a = s - (s - a) = 6, és hasonlóan b = 8, c = 10. \end{matrix}

A kapott megoldás derékszögű háromszög, az ismert ,,egyiptomi háromszög'' 2-szerese. Az eddigiekből látható, hogy több megoldás nincs.

Rába Ferenc (Budapest, I. István Gimn. III. o. t.)

Megjegyzés. Az

r = 2

értéket az oldalak, a terület és (2) figyelembevétele nélkül is megállapíthatjuk, a sugarak geometriai jelentéséből csak azt használva fel, hogy

r < r_{1}

r_{2}

r_{3}

. Ezzel ugyanis (1)-ből

4 / r > 1

r < 4

és

4

-en alul

r = 2

az egyetlen (pozitív) páros szám. A (2) összefüggések korábbi felhasználása csak azért célszerű, mert (4) könnyen használható feltételt ad a meg nem felelő

r

értékrendszerek kiválasztására.

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn. III. o. t.)

2. Felesleges volna

a

b

c

megállapítása után azt vizsgálni, eleget tesz-e a

6

8

10

számhármas a háromszög-egyenlőtlenségeknek. Ezt

r_{1} > r

figyelembe vételével és

t

értékét pozitívnak véve biztosítottuk. Így ugyanis

s - a

s - b

s - c

mindegyike pozitív, és ez azt jelenti, hogy egyik oldal sem éri el a kerület felét, tehát kisebb a további két oldal összegénél.