Kezdőlap


Feladat:	993. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár A. , Bencsik I. , Biborka T. , Bollobás B. , Butor L. , Gagyi Pálffy A. , Gombás Judit , Hahn J. , Hanyi Zs. , Hegyi L. , Holop A. , Kéry G. , Klimó J. , Kopornoky Zs. , Kovács Imre , Marton Dénes , Mészáros Kornélia , Mocskónyi M. , Náray Szabó G. , Nováky A. , Nováky B. , Páska Cs. , Rozsnyói P. , Sólyom L. , Szegő K. , Székely J. , Szőke Ágnes , Várady G. , Veres Gy. , Zeke A.
Füzet:	1960/május, 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/október: 993. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldal második tagjában $17 496 = 2^{3} \cdot 3^{7}$ , ennélfogva

\begin{matrix} log_{\sqrt[]{18}} 17 496 \sqrt[]{2} = log_{\sqrt[]{18}} 2^{\frac{7}{2}} \cdot 3^{7} = log_{\sqrt[]{18}} {(2 \cdot 3^{2})}^{\frac{7}{2}} = log_{\sqrt[]{18}} \sqrt[]{18^{7}} = 7. \end{matrix}

A többi tagokban lg

x = y

jelöléssel egyenletünk így egyszerűsödik:

\begin{matrix} 9^{2 y} + 7 = 9^{y + 1, 5} - 9^{y - 1} = 9^{y} (9^{1, 5} - 9^{- 1}) = 9^{y} \cdot 242 / 9, \end{matrix}

és tovább

9^{y} = z

jelöléssel

\begin{matrix} z^{2} + 7 = 242 z / 9. \end{matrix}

Innen

z_{1} \approx 26, 63

és

z_{2} \approx 0, 2629

.² Ezekkel

lg x = lg z / lg 9

-ből

\begin{matrix} lg x_{1} \approx 1, 494, \\ lg x_{2} \approx (0, 4198 - 1) / 0, 9542 = - 0, 6080 = 0, 3920 - 1, \end{matrix}

és így

x_{1} \approx 31, 2, x_{2} \approx 0, 247,

Marton Dénes (Budapest, Kölcsey F. Gimn. III. o. t.)

Megjegyzés. Számos versenyző vagy egyáltalán nem végezte el a numerikus számítást, vagy nagyon felületesen, gondatlanul számolt. Pl. egy dolgozat végeredményként aláhúz egy olyan számkifejezést, amelyben még kijelölt összevonás és gyökvonások szerepelnek. Vannak elvi hibák is a

0

és

1

közti számok (negatív) logaritmusával való számolásban, és egészen primitív tizedesvessző hibák is. ‐ A gyakorlatban sok bajt okozhat egy alapelveiben helyes, de végrehajtásában hibás számítás.

²A diszkrimináns négyzetgyökét

z_{2}

céljára logaritmus nélkül

6

értékes jegyre számítottuk. Logaritmussal ugyanis csak négy értékes jegyet kaphatunk, ezért a

242 - 237, 3

különbségnek, és vele

z_{2}

-nek is csak két értékes számjegye lenne. Eljárásunkkal

z_{2}

-re is

4

értékes jegyet kapunk.