Kezdőlap


Feladat:	987. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mészáros Kornélia
Füzet:	1960/április, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 987. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Törzsszámhatványok szorzatára felbontva $840 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ , ezért a kívánt oszthatósághoz szükséges és elegendő, hogy $K$ osztható legyen $2^{3},3,5$ és $7$ mindegyikével. $K$ -nak 2-ik, 3-ik és 4-ik tagja bármely természetes $n$ -re páros, ezért $K$ akkor és csak akkor páros, ha $n^{3}$ páros. Ez pedig akkor és csak akkor teljesül, ha $n$ páros: $n = 2 k$ . Páros $n$ -re $K$ mindjárt $2^{3}$ -nel is osztható, mert így $K = 8 k^{3} + 24 k^{2} - 8 k - 24 = 8 (k^{3} + 3 k^{2} - k - 3)$ .
Hasonlóan 3-mal akkor és csak akkor osztható $K$ , ha 1-ső és 3-ik tagja együtt osztható 3-mal. Már most $n^{3} - 4 n = n (n^{2} - 4) = (n - 2) n (n + 2)$ -t $n + 2 = (n - 1) + 3$ alapján így is írhatjuk: $(n - 2) (n - 1) n + 3 (n - 2) n$ , ez pedig $3 A$ alakú (ahol $A$ egész szám), mert első tagja három egymás utáni egész szám szorzata, ami mindig osztható 3-mal, második tagjának pedig tényezője a 3. Így $K$ minden $n$ természetes számra ‐ sőt minden $n$ egész számra ‐ osztható 3-mal.
Könnyű felismerni, hogy $K$ fentebbi alakja szorzattá alakítható:

\begin{matrix} K = 8 [k^{2} (k + 3) - (k + 3)] = 8 (k + 3) (k^{2} - 1) = 8 (k - 1) (k + 1) (k + 3) . \end{matrix}

Így

K

nyilván akkor és csak akkor osztható 5-tel, ha ez a

k - 1

k + 1

k + 3

fényezők valamelyikére teljesül, tehát

\begin{matrix} vagyk - 1 = 5 m, azazk = & 5 m + 1, \\ vagyk + 1 = 5 j, azazk = 5 j - 1 = 5 (j - 1) + 4 = & 5 m + 4, \\ vagyk + 3 = 5 j, azazk = 5 j - 3 = 5 (j - 1) + 2 = & 5 m + 2, \end{matrix}

ahol

m

természetes szám, vagy 0. És hasonlóan

K

akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha

\begin{matrix} vagy k = 7 s + 1, vagy k = 7 s + 6, vagy k = 7 s + 4. \end{matrix}

Más szóval akkor, ha

k

-t 5-tel osztva a maradék vagy 1, vagy 2, vagy 4, és

k

-t 7-tel osztva a maradék vagy 1, vagy 4, vagy 6.
Ezt a 3 ‐3 követelményt

3 \cdot 3 = 9

-féleképpen kapcsolhatjuk párba. Megmutatjuk példákon, hogy a két osztási maradék vizsgálatát eggyel helyettesíthetjük, a

k

szám

5 \cdot 7 = 35

-tel való osztásának maradékát vizsgálva.
Ha pl

k

-t akár 5-tel, akár 7-tel osztva maradékul 1-et kell kapnunk, akkor a

\begin{matrix} k = 5 m + 1 = 7 s + 1 \end{matrix}

egyenletből

5 m = 7 s

, ami csak úgy lehetséges, ha

m

osztható 7-tel:

m = 7 t

, mert 5 és 7 relatív prímek; és így

k = 35 t + 1

. Világos, hogy az ilyen

k

számok 5-tel osztva is, 7-tel osztva is 1-et adnak maradékul.
Hasonlóan

k = 5 m + 1 = 7 s + 4

-ből

\begin{matrix} m = \frac{7 s + 3}{5} = s + \frac{2 s + 3}{5} = s + u \end{matrix}

akkor és csak akkor egész, ha

2 s + 3 = 5 u

, vagyis

\begin{matrix} s = \frac{5 u - 3}{2} = 2 u + \frac{u - 3}{2} = 2 u + ν \end{matrix}

egész, ez pedig teljesül, ha

u - 3 = 2 ν

, vagyis

u = 2 ν + 3

. Ebből

s = 2 (2 ν + 3) + ν = 5 ν + 6

, ezért

m = (5 ν + 6) + (2 ν + 3) = 7 ν + 9

és végül

k = 5 (7 ν + 9) + 1 = 35 ν + 46 = 35 (ν + 1) + 11 = 35 w + 11

; ennek maradékai 5-tel, ill. 7-tel osztva valóban

11 - 2 \cdot 10 = 1

, ill.

11 - 7 = 4

.
Valamivel rövidebben jutunk célhoz a

k = 5 m + 2 = 7 s + 6

esetben. Innen

m = (7 s + 4) / 5 = s + 2 (s + 2) / 5 = s + 2 z

csak akkor egész, ha

s + 2 = 5 z

s = 5 z - 2

m = 7 z - 2

k = 35 z - 8 = 35 (z - 1) + 27

. (Ez azon múlt, hogy észrevettük a 2-es tényező kiemelhetőségét.)
Valamennyi maradék-párosítás eredményét táblázatban foglaljuk össze. A táblázat belsejében álló,

35 t + u

típusú alakok 5-tel osztva a sor elején álló, 7-tel osztva az oszlop fején álló alakra vezetnek.

\begin{matrix} k & 7 s + 1 & 7 s + 6 = 7 (s + 1) - 1 & 7 s + 4 \\ 5 m + 1 & 35 t + 1 & 35 t + 6 & 35 t + 11 \\ 5 m + 4 = 5 (m + 1) - 1 & 35 t + 29 & 35 t + 34 = 35 (t + 1) - 1 & 35 t + 4 \\ 5 m + 2 & 35 t + 22 & 35 t + 27 & 35 t + 32 \end{matrix}

Visszatérve

n

-re, célszerű ennek párossági követelményét is ezen eredményekhez kapcsolni. Az

n : 2

osztásban csak a 0 maradékot engedtük meg, ezért az esetek száma nem emelkedik. Behelyettesítve a

k

-ra nyert kifejezéseket az

n = 2 k

összefüggésbe azt nyerjük, hogy

K

akkor és csak akkor osztható 840-nel, ha

n

-et 70-nel osztva a maradék a táblázatban szereplő maradékok valamelyikének a kétszerese, tehát a következő kilenc szám valamelyike (növekvő sorrendbe rendezve):

2

8

12

22

44

54

58

64

68

.
Pl,

n = 204 = 2 \cdot 70 + 64

-gyel

k = 102

, és így

K = 8 (k - 1) (k + 1) (k + 3) = 8 \cdot 101 \cdot 103 \cdot 105 = 840 \cdot 101 \cdot 103.

Mészáros Kornélia (Budapest, Veres Pálné lg. IV. o. t.)

Megjegyzés. A két osztás helyett egyre való áttérés azon a sejtésen alapul, hogy a

k : 5

és

k : 7

osztások

r'

ill.

r''

maradékai egyértelműen meghatározzák a

k : 35

osztás maradékát, más szóval, ha a különböző

k_{1}

és

k_{2}

számok mindegyikének 5-ös, ill. 7-es maradéka

r'

, ill.

r''

, akkor a

k_{1} : 35

és

k_{2} : 35

osztások egymástól csak a hányadosban különböznek. Valóban, feltevéseink szerint

\begin{matrix} k_{1} = 5 m_{1} + r' = 7 s_{1} + r'' \\ k_{2} = 5 m_{2} + r' = 7 s_{2} + r'', \end{matrix}

innen

\begin{matrix} k_{2} - k_{1} = 5 (m_{2} - m_{1}) = 7 (s_{2} - s_{1}), \end{matrix}

ez csak úgy állhat, ha

m_{2} - m_{1} = 7 t

, ebből pedig

k_{2} - k_{1} = 35 t

, ami a sejtést igazolja.