Kezdőlap


Feladat:	986. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gergely János
Füzet:	1960/április, 104 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 986. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egyenletrendszerben $x$ és $y$ ugyanolyan szerepet játszanak, $z$ kissé külőnbözőt. Célszerű ezért $z$ -t kiküszöbölni. (1)-ből $z = - (x + y$ ); ezt (2)-be helyettesítve rendezéssel adódik:

\begin{matrix} x y = - 10. \end{matrix}

(4)

Hasonlóan (2)-ből

z^{2}

értékét (3)-ba helyettesítve

\begin{matrix} x^{4} + y^{4} - {(x^{2} + y^{2} - 20)}^{2} = - 2 x^{2} y^{2} + 40 (x^{2} + y^{2}) - 400 = 560, \end{matrix}

és ebből (4) figyelembevételével

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 29. \end{matrix}

(5)

Így (4) és (5)-ben ismert egyszerű típusú egyenletrendszert nyertünk

x, y

-ra. Innen

\begin{matrix} (x^{2} + y^{2}) + 2 x y = {(x + y)}^{2} = 29 - 20 = 9, tehát x + y = \pm 3, \\ (x^{2} + y^{2}) - 2 x y = {(x - y)}^{2} = 29 + 20 = 49, tehát x - y = \pm 7, \end{matrix}

és ez, az előjelek

2 \cdot 2

-féle megválasztásával

x, y

-ra négy elsőfokú rendszert ad. Pl.

\begin{matrix} x + y = - 3, x - y = + 7 - ből x = + 2, y = - 5, majd (1) alapján z = 3. \end{matrix}

Ez a megoldás (2)t és (3)-at is kielégíti. Ugyanez áll a további három előjelpárosításra is, ennélfogva az adott rendszernek négy megoldása van:

\begin{matrix} x, y, z = 5, - 2, - 3; - 2, 5, - 3; 2, - 5, 3; - 5, 2, 3. \end{matrix}

Gergely János (Keszthely, Vajda J. g. III. o., t. )